Gleichungslösung in der Praxis
- Lösen nichtlinearer Gleichungen:
- Problem: Finde reelles x mit
- Funktionen enthalten Stoffgesetze
- als Interpolation von Tabellenwerten
- als komplexe Fitkurven
- direkte algebraische Methoden scheitern
- grundlegender Ansatz
- f(x) := f1(x) - f2(x) =
0
- Nullstellensuche mit Standardverfahren, etwa
Dekker-Brent
- in Matlab: fzero
- klappt zuverlässig bei geeignetem
Startintervall
- Fixpunkt-Verfahren:
- Umformen zu
- Methode: Stoffgesetze als konstant annehmen und nach x
auflösen
- Lösen durch Iteration
- beliebt bei Mathematikern
- elegant
- auf abstrakte Räume verallgemeinerbar
- wichtig in vielen Beweisen (Picard-Lindelöf!)
- aber: konvergiert nur unter strengen Voraussetzungen!
- hinreichend: |g'(x)| ≤ q < 1 in geeignetem
Intervall
- notwendig: |g'(x*)| ≤ 1
- Ingenieure:
- müssen ein- oder mehr-dimensionale Gleichungen
lösen
- sind nicht an Eleganz interessiert
- kümmern sich selten um Voraussetzungen von
Verfahren
- verwenden trotzdem häufig Fixpunkt-Methoden
- standardisieren Verfahren "für die
Ewigkeit" (DIN-Normen, VDI-Wärmeatlas)