Systeme mit veränderlicher Struktur

• Beispiel "frei fallendes Fadenpendel" [20]:
  • System
    • Punktmasse mit Luftwiderstand an (masselosem) Seil fester Länge
    • Bewegung wechselt zwischen Pendel- und Freifall-Phase je nach Richtung der Kraft auf die Masse
    • Bewegung bleibe in einer Ebene
    • 
  • Modell-DGLs
    • Pendel-Phase
    • 
    • Frei-Fall-Phase
    • 
    • Achtung: φ = 0 am höchsten Punkt
  • Umschalten Pendel → Frei-Fall
    • Seilkraft h₁ wird negativ
    • 
  • Umschalten Frei-Fall → Pendel
    • Punktmasse erreicht Abstand l (von innen)
    • Funktion h₂ wird negativ
    • 
  • Beim Umschalten ändert sich die Struktur, insbesondere die Dimension des Zustandsraums
  • Structure-Change event SE-S in Nomenklatur von [20]
• Implementierung in Modelica [22, 23]:
  • Gesamtmodell FreeFallPendulum
    • 
  • zwei Blöcke für die beiden System-Konfigurationen mit
    • Eingang active zum Aktivieren
    • Eingang newState für Anfangswert beim Aktivieren
    • Ausgang stateOut für aktuelle Zustandwerte
  • Block SystemSwitch
    • bekommt aktuelle Zustandwerte (inaktives System liefert "0-Werte")
    • aktiviert damit abwechselnd die beiden Systeme
    • liefert jeweils Anfangswerte beim Aktivieren
  • unterer Block berechnet nützliche Ausgabewerte
    • Winkel von unten
    • x/y-Werte auch in Pendel-Phase
  • Struktur geeignet für beliebige Systeme mit Strukturwechsel
  • Ergebnisse
    • 
    • x-y-Plot
    • 
• Implementierung der Teil-Systeme:
  • erben von Basis-System SwitchableSystem
    • definiert Dimension des Zustandsraums, Ein- und Ausgänge
    • enthält Code zum Einschalten

    • when active then
        reinit(state, pre(newState));
      end when;
      stateOut = if active then state else sOff;

  • definieren Systemparameter
  • enthalten Zustandgleichungen, z.B. beim Pendel

    • if active then
        der(state) = {state[2], -(k/m)*state[2] + (g/l)*sin(state[1])};
      else
        der(state) = zeros(N);
      end if;

  • when und if in Modelica erzeugen automatisch Events
• Implementierung des Umschalters:
  • erbt von PartialSystemSwitch
    • definiert Dimension der Zustandsräume, Ein- und Ausgänge
    • enthält Code zum Umschalten

    • when h1 < 0 then
        active1 = false;
      elsewhen h2 < 0 then
        active1 = true;
      end when;
      active2 = not active1;

  • berechnet Werte für h1 und h2
  • berechnet neue Zustandswerte beim Umschalten, z.B. s₂ aus s₁

    • new2[1] = l*sin(state1[1]);
      new2[2] = l*cos(state1[1]);
      new2[3] = l*state1[2]*cos(state1[1]);
      new2[4] = -l*state1[2]*sin(state1[1]);

• Umschalten zwischen Gleichungen in Modelica:
  • streng genommen nicht möglich
    
    • Modell enthält zu jedem Zeitpunkt Zustandvariable für beide Teilsysteme
    • alle Variablen brauchen immer Gleichungen
  • aber
    • inaktiver Teil hat triviale Gleichungen
    • Modelica-Compiler optimiert triviale Gleichungen weg