Zeitdiskrete Modelle

• Lineare diskrete Systeme:
  • Idee: System direkt diskret modellieren statt kontinuierliches System zu sampeln
  • lineares Modell mit innerem Zustandsvektor x_k, äußerer Einflussgröße u_k und Rauschen w_k (Systemrauschen):
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  • w_k ist Gaußsches Rauschen mit Mittelwert 0 und Kovarianzmatrix Q, geschrieben
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  • häufiger Spezialfall: kein u ⇔ B = 0
  • x nicht direkt beobachtbar, stattdessen Messgrößen z, die linear von x abhängen und ebenfalls Gaußsches Rauschen (Messrauschen) aufweisen:
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  • Dimensionen der Größen (Zeilenzahl x Spaltenzahl)
    • x(nx1), A(nxn), Q(nxn)
    • z(lx1), H(lxn), R(lxl)
• Modell für Gaußsches Rauschen:
  • eigener Subblock
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  • Parameter über Maske vorgebbar
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  • zur Berechnung eines Vektors normalverteilter Zufallszahlen mit Kovarianz P bestimme C mit
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    • in Matlab mit
    • [C, res] = sqrtm(P);
  • Simulink-Modell dann
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  • Parameter von Random Number
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  • C wird als zusätzlicher Parameter in Mask Editor/Parameters aufgenommen
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    • "Show parameter" deaktiviert → C erscheint nicht in der Maske
  • automatische Berechnung von C aus Q in Mask Editor/Initialization
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  • Beschriftung des Blocks mit Kommando in Mask Editor/Icon
    • disp('N(m,P)')
• Modell für lineares diskretes System:
  • Subblock
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  • Parameter
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  • Aufbau
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  • Block Unit Delay (1/z)
    • gibt Eingangswert beim nächsten Sample-Zeitpunkt aus
    • hat Anfangswerte für Start
    • entspricht Integrator bei kontinuierlichen Systemen
  • Problem mit Zufallszahlen
    • gleiche seed → gleiche Werte → unerwünschte Korrelationen im Modell
  • Lösung
    • Block w hat seed1, Block v hat seed2
    • Berechnung in Mask Editor/Initialization
    • N = size(Q, 1);
      M = size(R, 1);
      seed1 = (seed:(seed+N-1))';
      seed2 = ((seed+N):(seed+N+M-1))';
  • Achtung:
    • in Modellen mit mehreren Linear Systems seed so wählen, dass keine Überschneidungen auftreten!
  • Beschriftung des Blocks in Mask Editor/Icon
    • text(0.15, 0.65, 'x_{k+1} = Ax_k+Bu_k+w_k',
      'texmode', 'on', 'horizontalAlignment', 'left')
      text(0.15, 0.35, 'z_k = Hx_k+v_k',
      'texmode', 'on', 'horizontalAlignment', 'left')
      port_label('output', 1, 'x')
      port_label('output', 2, 'z')
      port_label('input', 1, 'u')
• Beispiel-Lauf:
  • Modell model_linear_system.mdl mit Standard-Parametern
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  • Ergebnis
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  • Ground-Block
    • schickt 0
    • verhindert Warnung über nicht angeschlossenen Eingang
  • System enthält keine kontinuierlichen Zustände, braucht Solver "discrete"
• Harmonischer Oszillator als lineares diskretes System:
  • betrachten nur den Fall u = 0
  • Umschreiben der DGL auf 2d-System 1. Ordnung
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  • Lösung der DGL bei gegebenem Anfangsvektor x₀
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    • mit
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  • Werte nur in Zeitabständen Δt
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    • kann direkt als lineares diskretes System geschrieben werden
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  • Beispielwerte
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