Federpendel
Federpendel:
Masse m an Feder mit Federkonstanten c
Kraftgesetz bei der Feder
F = -cx (
Hookesches Gesetz
)
Bewegungsgleichung
F = m a
beschreibt z.B. auch elektrischen Schwingkreis
Simulation
Lösung der Bewegungsgleichung:
Experiment legt harmonische Schwingung nahe
Einsetzen von
x(t) = A cos (ω t + φ)
→
steifere Feder (größeres c) → schnellere Schwingungen
höhere Masse → langsamere Schwingungen
Amplitude und Phase
in Bewegungsgleichung beliebig
durch Anfangsbedingungen (Auslenkung und Geschwindigkeit) vorgegeben
Anfangsbedingungen
Auslenkung x
0
und Geschwindigkeit v
0
frei vorgebbar
Beispiel ausgelenktes Pendel
x
0
≠ 0, v
0
= 0
reine Cosinus-Schwingung mit Amplitude x
0
x(t) = x
0
cos(ω t)
Geschwindigkeit reiner Sinus
v(t) = - x
0
ω sin(ω t)
Beispiel angestoßenes Pendel
x
0
= 0, v
0
≠ 0
Geschwindigkeit reine Cosinus-Schwingung
v(t) = v
0
cos(ω t)
Bewegung reine Sinus-Schwingung mit Amplitude v
0
/ω
Kombination beider Formen
x
0
, v
0
≠ 0
Überlagerung beider Schwingungen
x(t) = x
0
cos(ω t) + (v
0
/ω) sin(ω t)
kann geschrieben werden als harmonische Schwingung mit phasenverschobenem Cosinus
Senkrechtes Federpendel:
zusätzliche Gewichtskraft mg
zusätzliche Auslenkung x
g
der Feder
Gewichtskraft und Federkraft im Gleichgewicht →
harmonische Schwingung um diese Gleichgewichtslage
Energiebilanz beim ausgelenkten Federpendel:
elastische Energie
E
elast
= 1/2 c x
2
= 1/2 c x
0
2
cos
2
(ω t)
maximal an den Umkehrpunkten (Phasen 0 und π)
minimal bei den Nulldurchgängen (Phasen π/2 und 3π/2)
kinetische Energie
E
kin
= 1/2 m v
2
= 1/2 m x
0
2
ω
2
sin
2
(ω t)
maximal bei den Nulldurchgängen (Phasen π/2 und 3π/2)
minimal an den Umkehrpunkten (Phasen 0 und π)
Gesamtenergie
E
= E
pot
+ E
kin
= 1/2 x
0
2
(c cos
2
(ω t) + mω
2
sin
2
(ω t))
= 1/2 x
0
2
(c cos
2
(ω t) + c sin
2
(ω t))
= 1/2 c x
0
2
= 1/2 mω
2
x
0
2
= const.
Energie schwingt immer zwischen kinetischer und potentieller Energie hinundher
Aufgaben:
Aufgabe 8
Aufgabe 9
