Gedämpfte Schwingung
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Arten von Reibungskräften:
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Gleitreibung
- Betrag unabhängig von der Geschwindigkeit
- Richtung entgegengesetzt zur
Geschwindigkeit
- proportional zur Auflagekraft
FN
- FR = μ FN
- Reibung zwischen Körper und Auflagefläche
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viskose Reibung
- proportional zur Geschwindigkeit
- FR = - b v
- bei laminarer Strömung
- Stoßdämpfer im Auto
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turbulente Reibung
- proportional zum Quadrat der
Geschwindigkeit
- FR = d v2
- bei turbulenter Strömung
- Luftwiderstand bei hoher Geschwindigkeit
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Schwingung mit viskoser Reibung
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Simulation
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geringe Reibung (b/m = 0.15/s, c/m = 0.5/s2)
- Schwingungsamplitude nimmt ab
- kommt schliesslich zur Ruhe
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große Reibung (b/m = 1.5/s, c/m = 0.5/s2)
- keine Schwingung
- Masse bewegt sich langsam in Ruhelage
("Kriechen")
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Energieverlust durch Reibung: im Mittel exponentiell
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Bewegungsgleichung mit Reibungsterm
- d2x/dt2 + b/m dx/dt +
c/m x = 0
- beschreibt auch elektrischen Schwingkreis mit
Widerstand
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Gedämpfte Schwingung:
- Schwingungsamplitude nimmt exponentiell mit der
Zeit ab
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Lösung der Bewegungsgleichung bei v0 = 0
- x(t) = A e-δ t cos(ω
t)
- mit
- im Bild
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Vergleich mit reibungsloser Schwingung
- Frequenz des gedämpften Schwingers ist
niedriger
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dimensionslose Kennzahl:
- D := δ/ω0
(Dämpfungsgrad)
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Lösung nur richtig für kleine Reibung:
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Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Amplituden
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Logarithmieren →
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Kriechfall:
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starke Dämpfung
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Lösung:
- x1, x2 aus
Anfangsbedingungen
- exponentielles Abklingen
- Term mit x1 dominiert bald
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Aperiodischer Grenzfall:
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gegeben durch
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Lösung:
- klingt am schnellsten ab
- wichtig für Messgeräte
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Aufgaben: