Erzwungene Schwingung

• Äußere Anregung:
  • periodische äußere Kraft mit
    • F_E = B cos(ω_ext t)
  • Beispiele:
    • mechanische Vibrationen
    • einfallende Schallwellen
    • elektrische Schwingungen
• Federpendel mit Anregung:
  • Simulation
    • 
  • Verhalten bei b/m = 0.3/s, c/m = 1/s² und verschiedenen Anregungsfrequenzen
  • ω_ext = 0.5/s
    • erst Einschwingen, dann harmonische Schwingung
    • folgt Anregung leicht phasenverschoben
  • ω_ext = 1.0/s
    • sehr große Amplitude (Resonanz)
    • um π/2 zur Anregung phasenverschoben
  • ω_ext = 2.0/s
    • kleine Amplitude
    • Phasenverschiebung fast π (gegenläufig)
• Lösungen der Bewegungsgleichung:
  • Bewegungsgleichung enthält äußere Kraft
    • d²x/dt² + b/m dx/dt + c/m x = B/m cos(ω_ext t)
  • Lösung besteht aus Überlagerung zweier Schwingungen:
    • x(t) = x_Einschwing(t) + x_Dauer(t)
  • x_Einschwing(t)
    • Lösung der Gleichung ohne Anregung (homogene Gleichung)
    • gedämpfte Schwingung oder (für D > 1) Kriechen
    • enthält Abhängigkeit von Anfangsbedingungen
  • x_Dauer(t)
    • Schwingung mit der Frequenz der Anregung
    • x_Dauer(t) = A cos(ω_ext t + φ)
    • Amplitude A und Phasenverschiebung φ durch Bewegungsgleichung gegeben
    • insbesondere Funktionen von der Anregungsfrequenz ω_ext
    • Einsetzen liefert Beziehungen
• Amplituden-Funktion:
  • Amplitude A(ω_ext) gegeben durch
    • 
  • mit den alten Abkürzungen
    • 
  • ist dies:
    • 
  • graphisch:
    
  • bei geringer Dämpfung (D << 1) sehr hohe Amplitude für ω_ext =ω₀ (Resonanzkatastrophe)
• Phasenfunktion
  • Phasenfunktion φ(ω_ext) gegeben durch
    • 
  • graphisch:
    
  • typische Fälle:
    • niedrige Anregungsfrequenz → Masse folgt direkt
    • Resonanz → Phasenverschiebung = π/2
    • hohe Anregungsfrequenz → gegenläufige Bewegung
• Aufgaben:
  • Aufgabe 11