Harmonische Wellen
Wellen mit harmonischer Schwingungsfunktion:
am Ort x = 0
Φ(x=0, t) = A cos(ω t)
am beliebigen Ort x
im allgemeinen noch mit Phasenverschiebung
Wellenzahl
k:
zeitliches Verhalten T, ω
räumliches Verhalten λ, k
bei Wellen im Raum:
, zeigt in Richtung der Wellenausbreitung
Energiedichte
w:
Energie der Schwingung einer Masse m mit Amplitude A
E = ½ m v
max
2
= ½ m ω
2
A
2
kontinuierlich: für kleines Massestück dm
dE
= ½ dm ω
2
A
2
= ½ ρ dV ω
2
A
2
mit der Dichte ρ = dm/dV
Energiedichte w
w := dE/dV = ½ ρ ω
2
A
2
Energiestromdichte
S:
S = Energie/(Zeit Fläche)
beschreibt Transport der Energie mit der Welle
in der Zeit dt verschiebt sich das Volumen dV um ds = c dt, damit
S
= dE/(dt dF) = dE/(ds/c dF) = c dE/dV
= c w
= ½ c ρ ω
2
A
2
Wellengleichung:
verknüpft zeitliche und räumliche Änderung
taucht in vielen Bereichen auf, meistens als lineare Näherung
Lösungen sind alle Funktionen der Form
Φ(x, t) = f(x ± c t)
rechts- bzw. linkslaufende Wellen mit Ausbreitungsgeschwindigkeit c
physikalischer Kontext gibt Zusammenhang zwischen c und anderen Größen
Beispiel Schallwellen in Gas:
κ: Adiabatenkoeffizient, = 1.40 in Luft bei Normalbedingungen
p: Druck
ρ: Dichte des Gases
Beispiel eingespannte Saite:
F: Einspannkraft
A: Querschnittsfläche der Saite
ρ: Dichte des Saitenmaterials
Aufgaben:
Aufgabe 14
Aufgabe 15
Aufgabe 16
Aufgabe 17
, zeigt in Richtung der Wellenausbreitung
