Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms

• Lösung der Schrödingergleichung:
  • ergibt gleiche Energieniveaus wie Bohrmodell
  • liefert genaue Wellenfunktionen für alle Zustände
  • erweitert Bohrmodell durch Bahn-Drehimpuls
  • Beispiel: Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Abstand r vom Kern zu finden, für Grundzustand und zwei angeregte Zustände:
    • 
    • mit dem Bohrschen Radius a = 0.529 · 10^-10 m
• Bahn-Drehimpuls im Wasserstoff-Atom:
  • klassisch:
    • beschreibt verschieden gestauchte Ellipsen
    • Vektor = (L_x, L_y, L_z)
    • senkrecht zur Bahn
  • quantenmechanisch:
    • Komponenten lassen sich nicht gleichzeitig messen
    • nur Länge des Vektors und eine Komponente
    • zur Beschreibung am besten: ² und L_z (willkürlich)
  • ähnlich wie bei der Energie nur bestimmte Werte des Drehimpulses möglich:
    • ² = ² l (l+1)
    • mit l = 0, 1, .. n-1 für Energieniveau n
  • Für festen Wert l des Gesamtdrehimpulses nur bestimmte Werte für Komponente L_z:
    • L_z = m
    • mit m = -l, -l+1, .., 0, 1, .. l
• Zustände des H-Atoms charakterisiert durch:
  • Hauptquantenzahl n
    • Werte: n = 1, 2, 3, ...
    • legt die Energie des Niveaus fest
    • E = E₀ · 1/n²
    • Grundzustandsenergie E₀ = -13.6 eV
  • Bahndrehimpuls-Quantenzahl l
    • Werte für gegebenes n: l = 0, 1, .. n-1
    • n mögliche Werte für Hauptquantenzahl n
    • historische Bezeichnung: s, p, d, f, .. für l = 0, 1, 2, 3, ..
  • magnetische Quantenzahl m
    • Werte für gegebenes l: -l, -l+1, .., 0, .. l
    • 2l+1 mögliche Werte für gegebenes l
  • insgesamt n² Zustände gleicher Energie E_n (Entartung)
  • Beispiele:
    
• Wellenfunktionen für l ≠ 0:
  • von Winkeln abhängig (nicht kugelförmig)
  • einige Beispiele: