Zustandsgleichung des idealen Gases

• Grundidee:
  • Druck des idealen Gases wird zurückgeführt auf Stöße der vielen Gasteilchen mit der Gefäßwand
  • Gasteilchen sind punktförmig und wechselwirken nicht miteinander
• "Druck" eines Teilchens:
  • betrachten einzelnes Teilchen der Masse m in einem Würfel der Kantenlänge a, Geschwindigkeit v = (v_x, v_y, v_z)
    
  • Stoß mit der rechten Wand (x-Richtung), Teilchen wird reflektiert. Neue Geschwindigkeit v = (-v_x, v_y, v_z). Impulsübertrag an die Wand:
    • Δp_x = 2 m v_x
  • Zeit Δt bis zum Wiederkommen: zweimal durch den Würfel hindurch, also:
    • Δt = 2 a / v_x
  • mittlerer Kraftübertrag des Teilchens also:
    • 
  • mittlerer "Druck":
    • 
• Druck vieler Teilchen:
  • Gesamtdruck:
    • 
  • Einzelgeschwindigkeiten nicht messbar, nur Mittelwerte über viele Teilchen, z.B. mittleres Geschwindgkeitsquadrat:
    • 
  • damit:
    • 
  • Für jedes Teilchen gilt:
    • 
  • Im Mittel sind die Geschwindigkeiten über alle Raumrichtungen gleichmäßig verteilt, also:
    • 
  • Ergebnis (Grundgleichung der kinetischen Gastheorie):
    • 
• kinetische Energie:
  • Für ein Teilchen gegeben durch
    • E_kin = 1/2 m v²
  • Mittelwert:
    • 
  • Gasgleichung damit:
    •