Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung

• Schwankungen:
  • bisher nur Mittelwerte betrachtet
  • Teilcheneigenschaften streuen um die Mittelwerte
  • Frage: Wieviele Teilchen haben welche Geschwindigkeit (bei gegebener Temperatur)?
• Verteilung der Geschwindigkeit:
  • Anteil q der Teilchen mit gegebener Geschwindigkeit v ist immer 0
    • denn: v ist reelle Zahl mit unendlich vielen Stellen
  • stattdessen Geschwindigkeitsintervalle
    • Breite Δv wählen und Anteile bestimmen
    • genauer werden: Δv kleiner machen
    • für Δv = (100, 50, 25) m/s und 300 K
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    • Problem: Kurve geht gegen 0
  • Trick
    • Anteil im Intervall durch Breite des Intervalls teilen: f := q/Δv
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    • Kurve geht gegen Grenzverteilung f(v) mit Einheit "Anteil/Geschwingkeitsbreite", also s/m
• Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
  • im thermischen Gleichgewicht, bei fester Temperatur T
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  • im Bild
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  • Gesamtfläche unter der Kurve ist 1 (≙ 100% der Teilchen)
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  • Fläche unter der Kurve von v₁ bis v₂ gibt Anteil der Teilchen in diesem Geschwindigkeitsbereich.
• Praktische Berechnung des Integrals:
  • Anteil N(v₁) der Teilchen mit Geschwindigkeit ≤ v₁
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  • kann mit der Fehlerfunktion erf(x) ausgedrückt werden
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  • zunächst Hilfsgröße x bestimmen
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  • damit
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  • Werte der Fehlerfunktion z.B. mit Matlab oder aus Tabellen
  • Anteil q der Teilchen zwischen v₁ und v₂ dann q = N(v₂) - N(v₁)
• Mittlere Geschwindigkeiten:
  • Mittelwert des Betrags der Geschwindigkeit
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  • mittleres Geschwindigkeitsquadrat
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  • Wurzel daraus heisst auch v_rms ("root mean square")
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• Aufgaben:
  • Aufgabe 24