Entropie und Wahrscheinlichkeit

• Makro- und Mikrozustand:
  • Unterscheidung bei Untersuchung großer Systeme (viele Teilchen)
    • alle physikalisch unterscheidbaren Größen werden berücksichtigt (Mikrozustand)
    • nur makroskopisch interessierende Größen (z.B. Druck, Temperatur, Volumen) werden berücksichtigt (Makrozustand)
  • Beispiel Gas
    • Mikrozustand = Ort und Geschwindigkeit aller Teilchen gegeben
    • Makrozustand = "homogenes" Gas mit gegebenem Druck und Temperatur
  • viele Mikrozustände gehören zum gleichen Makrozustand
  • wichtige Größe: Anzahl W der Mikrozustände zu einem Makrozustand
• Einfaches Beispiel:
  • Verteilung von 4 Gasmolekülen auf zwei verbundene Volumina
    
  • Mikrozustand = genaue Aufteilung der Teilchen auf die beiden Seiten
  • Beschreibung eines Mikrozustands
    • Teilchen durchnummerieren
    • für jedes Teilchen Ziffer 0 für links, 1 für rechts
    • alle Ziffern hintereinanderschreiben
  • z.B. 0110 = Teilchen 1,4 links; Teilchen 2,3 rechts
  • Makrozustand: Anzahl n der Teilchen im linken Teilvolumen (4 - n im rechten)
  • Anzahl W für jeden Makrozustand durch Auflisten

    • Makrozustand n	Mikrozustände	W
      0	1111	1
      1	1110,1101,1011,0111	4
      2	1100,1010,0110,1001,0101,0011	6
      3	1000,0100,0010,0001	4
      4	0000	1

• Beispiel: N Teilchen im geteilten Volumen
  • gesucht: Zahl W(n) der Mikrozustände zum Makrozustand
  • Idee:
    • Ordne alle N Teilchen in einer beliebigen Reihenfolge an
    • die ersten n Teilchen kommen nach links, die anderen nach rechts
  • Anzahl P(n) der möglichen Reihenfolgen (Permutationen)
    • P(n) = 1 · 2 · 3 · ... · n =: n!
  • Vertauschungen der n ersten Teilchen liefern den gleichen Mikrozustand
  • Vertauschungen der N - n letzten Teilchen liefern den gleichen Mikrozustand
  • Gesamtzahl der Möglichkeiten damit
    • 
  • Formel klappt auch bei n = 0 und n = N mit der Definition 0! = 1
• Wahrscheinlichkeit eines Makrozustands:
  • Grundannahme: Alle Mikrozustände (bei gleicher Teilchenzahl und gleicher Gesamtenergie) gleich wahrscheinlich
  • Gesamtanzahl der Mikrozustände
    • 2 Möglichkeiten (links oder rechts) für jedes Teilchen
    • bei mehreren Teilchen alle Kombinationen
    • insgesamt 2^N Möglichkeiten
  • Wahrscheinlichkeit p(n) gegeben als
    • 
  • p(n) graphisch, aufgetragen über n/N
    
  • für großes N ist p(n) ungefähr eine Gaußsche Glockenkurve mit Mittelwert N/2 und Breite
  • in x-Richtung skaliert auf [0,1] → relative Breite 1/
• Entropie S:
  • Maß für die Anzahl der Zustände eines Makrozustands
  • definiert als
    • 
  • für große Werte von N und n näherungsweise mit der Stirlingschen Formel
    • 
  • damit Näherungsformel für S im Beispiel
    • 
  • Entropie am "Gleichgewicht" n = N/2 maximal
  • S(n) graphisch, in Einheiten von k_B
    
• Richtung von Prozessen:
  • Stöße zwischen Teilchen verteilen diese im Mittel "zufällig"
  • ungleich verteilte Zustände sind sehr unwahrscheinlich
  • bei anfänglich ungleicher Verteilung stellt sich sehr schnell nahezu Gleichverteilung ein (Gleichgewichtszustand)
  • Entropie nimmt (mit überwältigend großer Wahrscheinlichkeit) zu (2. Hauptsatz der Thermodynamik)
• Aufgaben:
  • Aufgabe 25
  • Aufgabe 26