Nichtlineare Systeme

• Eigenschaften:
  • Bewegungsgleichung enthält nichtlineare Terme
  • Überlagerung zweier Lösungen i.a. keine Lösung (Superpositionsprinzip verletzt)
  • bei Schwingungen: Frequenz hängt i.a. von Amplitude ab
  • häufig qualitative Änderung des Verhaltens bei Parameteränderungen
  • in der Regel nur numerisch lösbar
• Beispiele:
  • Schwingungen mit nichtlinearer Rückstellkraft (Fadenpendel, realistische Feder)
    • 
  • Schwingungen mit nichtlinearer Dämpfung (Newtonsche Reibung)
  • Gravitation
  • turbulente Strömung
• Typen von Nichtlinearität:
  • harmlose
    • qualitativ leicht beschreibbar
    • "verbeulte" lineare Systeme
    • z.B. Fadenpendel
  • chaotische
    • Bewegungen völlig irregulär
    • Vorhersage für längere Zeiten nicht möglich
    • z.B. turbulente Strömung
  • singuläre
    • Terme gehen ggf. gegen unendlich
    • können unendliche Geschwindigkeit bekommen
    • meist unphysikalische Näherungen
    • z.B. Gravitation
• Duffing-Oszillator:
  • gegeben durch Bewegungsgleichung
    • 
  • beschreibt Federschwingungen mit Abweichung vom Hookeschen Gesetz (für ω₀² > 0)
    
  • zusätzlich mit Dämpfung und Anregung wie beim Pendel
  • auch möglich mit ω₀² < 0
    • Modell für Stab zwischen zwei Magneten
      
    • zwei stabile Gleichgewichtslagen (nahe linkem oder rechtem Magneten)
    • Mittellage instabil
• Amplitudenabhängigkeit der Frequenz:
  • näherungsweise beim Duffing-Oszillator berechnen
  • harmonische Schwingung als Ansatz
    • 
  • Einsetzen in Bewegungsgleichung →
    • 
  • Formel für Potenz des Cosinus
    • 
  • ergibt
    • 
  • Problem
    • Gleichung für beliebige Zeiten nicht erfüllbar (außer mit A = 0)
    • Lösung ist nicht harmonisch!
    • Näherung: A klein → Term mit cos(3ωt) vernachlässigen
  • damit
    • 
• Aufgaben:
  • Aufgabe 27
  • Aufgabe 28