Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen

• Lösungen mit ähnlichen Anfangsbedingungen beim Pendel:
  • Vergleich zweier Kurven mit verschiedener Anfangsauslenkung φ₀
    • 
  • selbst bei sehr kleinen Unterschieden sehr schnell völlig verschiedene Kurven
  • exponentielles Verhalten
    • Unterschied mehrmals um Faktor 10 verkleinern
    • → Zeit bis zum Auseinanderlaufen wächst jeweils nur um festen Wert
• Lyapunov-Exponent:
  • bei kleiner Änderung dφ₀ der Anfangsbedingungen ist
    • 
  • Lyapunov-Exponent λ beschreibt Divergieren beieinanderliegender Lösungskurven
  • verschiedene Werte λ_i je nach Richtung im Phasenraum (z.B. φ₀, ₀)
  • der Lyapunov-Exponent = Maximum der λ_i
  • λ_i < 0 → Konvergenz der Lösungen (anziehender Fixpunkt)
• Vorhersage-Horizont T_H:
  • relativer Fehler ε in Anfangsbedingungen
  • ε immer > 0 (Messgenauigkeit, thermisches Rauschen, ...)
  • nach Zeitraum T_H liegt der relative Fehler bei 1
    • → Werte so groß wie Fehler
    • → danach keinerlei Aussage über System möglich
  • T_H gegeben durch
    • 
• Explosion ≠ Chaos:
  • betrachte Gleichung für exponentielles Wachstum
    • 
  • Lösung bei Anfangswert x₀
    • 
  • nahegelegene Lösungen divergieren mit Lyapunov-Exponent α, aber kein Chaos
  • Unterschied: bei chaotischem System bleiben die Bahnen im Phasenraum in endlichem Volumen
• Aufgaben:
  • Aufgabe 30