Seltsame Attraktoren und Fraktale
- Bäcker-Abbildung:
- einfacher Prototyp der Streck-, Quetsch- und
Faltabbildung
- bildet das Einheitsquadrat in sich ab
- Höhe auf 0.4 stauchen, Länge um 2 strecken
- rechte Hälfte abschneiden
- umgeklappt in die obere Hälfte des Quadrats
packen
- als Formel
- Abbildung mischt Anfangswerte durcheinander
- nach vielen Iterationen
- Muster von vielen dünnen Streifen
- wiederholt sich bei kleineren Maßstäben
- Lyapunov-Exponenten
- λ1 > 0 (Explosion in
x-Richtung)
- λ2 < 0 (Stauchen in
y-Richtung)
- λ1 + λ2 <
0 (insgesamt Stauchung)
-
Fraktal:
- geometrisches Objekt (Menge von Punkten), z.B.
Kurve
- mehr als 1d, weniger als 2d (oder andere
Dimensionen)
- bei Vergrößerung immer wieder gleicher Aufbau
(selbstähnlich)
- Beispiele
- Attraktor bei der Bäcker-Abbildung
- Koch-Kurve
- Attraktor beim chaotischen Pendel
-
Seltsamer Attraktor (Strange
Attractor):
- Attraktor mit fraktaler Form
- entsteht bei Bewegungen in endlichem Phasenraum wenn
- positive und negative Lyapunov-Exponenten
(Stauchen in einer Richtung, Strecken in anderer)
- Summe der Lyapunov-Exponenten negativ (insgesamt
Stauchung)
- vorhersagbar
- Bewegung landet beim Attraktor
- unvorhersagbar
- Bewegung auf Attraktor hochkompliziert
- welche Teilblätter in welcher Reihenfolge ?
- exponentiell von Anfangsbedingungen
abhängig
- chaotisches Pendel
- Zahl der Überschläge zwischen Richtungswechsel
langfristig unvorhersagbar
- chaotischer Duffing-Oszillator
- Zahl der Schwingungen bis zum Wechsel der Seite
langfristig unvorhersagbar