Lösung von Aufgabe 9

• Die Gleichung wird in der Form func(x) = 0 geschrieben und die Funktion wie üblich mit @(x) definiert:
  • func = @(x) tan(x) - x .* log(0.1*x);
• Um Anfangswerte für fzero zu finden, wird sie nun geplottet:

  • x = [0:0.1:10];
    y = func(x);
    plot(x, y, [0 10], [0 0]);

• Dabei stellt man fest, dass an den Stellen π/2, 3 π/2 und 5 π/2 große Sprünge auftreten, die von den Polen des Tangens an diesen Stellen herrühren:
  • 
• Die nahezu senkrechten Linien gehören nicht zur Funktion, sondern sie werden durch die Vorzeichenwechsel an den Polstellen verursacht: Matlabs Plot-Funktion verbindet einfach die beiden an einen Pol angrenzenden Werte. Insbesondere liegen hier keine Nullstellen!
• Durch die ungünstige Skala sind die wahren Nullstellen etwas schwierig zu erkennen, aber ggf. mit Hilfe der Lupe liest man folgende Werte ab:
  • 1.9, 5.0, 8.5
• Mit fzero(func, 1.9) etc. bestimmt man mit diesen Startwerten die genauen Nullstellen zu
  • 1.8790, 4.9931, 8.4728
• Der Plot legt nahe, dass bei 0 ebenfalls eine Nullstelle vorliegt. Dort ist die Funktion zwar nicht definiert, lässt sich aber tatsächlich stetig zu 0 fortsetzen, wie man z.B. über den Satz von l'Hospital beweisen kann. Natürlich lässt sich hier mit fzero nichts machen, weil die Funktion auf der linken Seite der Nullstelle gar nicht definiert ist.
• Übrigens lassen sich die hässlichen Sprünge im Plot mit einem kleinen Trick vermeiden: Man ersetzt dazu in der Variablen y die betragsmäßig sehr großen Werte an den Polen durch den Wert NaN.

  • max = 40;
    indizes = find(abs(y) > max);
    y(indizes) = NaN; 
    plot(x, y, [0 10], [0 0]);

• Die Plot-Funktion lässt diese Werte dann aus, insbesondere verbindet sie sie nicht. Das Ergebnis ist deutlich hübscher:
  • 
• Die Details zeigt das Skript exercise9.m .