Spektralanalyse
- Grundtatsache:
- Periodische Funktionen können geschrieben werden als
Überlagerung eines Grundtons (harmonische Funktion gleicher Frequenz)
und seiner Obertöne (harmonische Funktionen mit n-facher Frequenz, n
= 2, 3, 4, ..)
- Beispiel Sägezahnschwingung:
- x(t) = t/2 für t = -π .. π
- Aufbau aus Grund- und Oberschwingungen
- als Applet zum Experimentieren
- in Formeln:
- x(t) = sin(t) - 1/2 sin(2t) + 1/3 sin(3t) - 1/4
sin(4t) ...
- Allgemeine Fourierzerlegung:
- für ungerade Funktion xu(t) (d.h.
punktsymmetrisch am Ursprung) mit Periode T = 2π/ω
- xu(t) = b1 sin(ω t)
+ b2 sin(2ω t) + b3 sin(3ω t) +
b4 sin(4ω t) + ...
- analog für gerade Funktion xg(t)
(spiegelsymmetrisch zur y-Achse)
- xg(t) = a0/2 +
a1 cos(ω t) + a2 cos(2ω t) +
a3 cos(3ω t) + a4 cos(4ω t) +
...
- unsymmetrische Funktionen: Summe aus geradem und
ungeraden Anteil
- Berechnung der Koeffizienten mit folgenden Formeln
- Alternativ mit Amplitude und Phasenverschiebung
- Spektrum:
- Darstellung der Größe der Koeffizienten über der
Frequenz
- bei der Sägezahnschwingung
- Spektren einiger Beispielfunktionen im Applet
- Komplexe Fourierzerlegung:
- Zusammenfassung beider Summen mit einer komplexen
e-Funktion
- Zerlegung in Real- und Imaginärteil ergibt beide
Teilreihen
- Ausnutzung der Symmetrie von sin und cos →
Werte für n und -n ergeben einfach Faktor 2
- Berechnung der Koeffizienten cn
- Bestimmung von an und bn aus
cn
- an = cn +
c-n
- bn = j (cn -
c-n)
-
Fouriertransformation:
- Zerlegung einer nichtperiodischen Funktion in
harmonische Funktionen
- keine Periode → "alle" Frequenzen treten auf
(nicht nur Obertöne)
- Summe über Obertöne → Integral über alle
Frequenzen ω
- Koeffizienten cn → komplexe Funktion
F(ω) (Fouriertransformierte)
- Darstellung der Funktion x(t)
- Berechnung der Fouriertransformierten
- Spektralfunktion:
- Stärke der Anteile zur Frequenz ω
- je nach Fragestellung Re(F) oder
|F|2
- Spektralanalyse in der Praxis
- wichtige Methode zur Analyse von Schwingungen
- spezielle numerische Methoden zur Berechnung der
Fouriertransformierten (FFT = Fast Fourier
Transform)
- Geräte zur sofortigen Berechnung und Darstellung von
Spektralfunktionen (Spektralanalysatoren)
- Beispiel:
- seltsame Störungen in einer Maschine, hervorgerufen
durch Vibrationen unbekannter Herkunft
- Messung der Vibrationen ergibt
- Spektralanalysator zeigt
- Untergrund bei allen Frequenzen
- Spitzen in festen Frequenzabständen
(Grundfrequenz 39.6 Hz)
- zusätzliche Spitze bei 50 Hz
- Interpretation:
- Trafoschwingungen bei 50 Hz
- Rauschen (Messfehler + allgemeine Störungen) als
Untergrund
- besondere Störung mit Grundfrequenz 39.6 Hz
- Analyse der Störung:
- starke Impulse im Ortsraum
- Unwucht in einer Welle, schlägt rhythmisch gegen
das Lager
- Aufgaben: