Lösung der Bewegungsgleichungen am Beispiel

• Standardbeispiel:
  • Masse-Feder-System mit kleiner Kopplungsfeder
    
  • Bewegungsgleichungen in Standardform mit Abkürzung ω₀² = c/m
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• Bestimmung der Eigenfrequenzen:
  • Lösungsansatz
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    • mit unbekannten Werten für ω, ₁, ₂
  • Einsetzen liefert
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  • homogenes Gleichungssystem für ₁, ₂
  • nichttriviale Lösung ⇔ Determinante verschwindet
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  • Ausrechnen der Determinante liefert quadratische Gleichung für ω² (charakteristische Gleichung)
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  • Auflösen nach ω² ergibt zwei (positive) Lösungen (Eigenfrequenzen)
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• Berechnung der Eigenschwingungen:
  • 1. Eigenschwingung für ω = ω₁
  • ω₁ in homogenes Gleichungssystem einsetzen →
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  • nur eine Gleichung bleibt übrig
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  • Lösung nicht eindeutig, eine Wahlmöglichkeit, normalerweise
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  • Lösung daher
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  • allgemeinere Lösung durch beliebige Linearkombination von Real- und Imaginärteil
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  • 2. Eigenschwingung für ω = ω₂ analog →
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• Interpretation der Eigenschwingungen
  • 1. Eigenschwingung
    • beide Massen schwingen im Takt mit gleicher Amplitude
    • mittlere (Kopplungs-)Feder entspannt
    • Frequenz = Eigenfrequenz ohne Kopplung
  • 2. Eigenschwingung
    • Massen schwingen mit gleicher Amplitude gegeneinander
    • Kraft durch Kopplungsfeder → höhere Eigenfrequenz