Systematisches Lösungsverfahren

• 1. Schritt: Aufstellen der Bewegungsgleichung in Matrixform
  • Bei n Freiheitsgraden n-dimensionalen Vektor der Koordinaten einführen
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  • Koeffizienten der Federkräfte zur Steifigkeitsmatrix C zusammenfassen
  • Koeffizienten der 2. Ableitungen ergeben Massenmatrix M
  • Bewegungsgleichung in Matrixform damit
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  • Eigenschaften der Matrizen M und C
    • bei n Freiheitsgraden nxn-Matrizen
    • in der Regel symmetrisch
    • bei bestimmten Koordinaten M oder C diagonal
    • in Hauptkoordinaten beide gleichzeitig diagonal
• 2. Schritt: Bestimmung der Eigenfrequenzen ω_i
  • charakteristische Gleichung
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  • Ausrechnen der Determinante → Polynom vom Grad n in ω²
  • hat n (in der Praxis meistens verschiedene) Lösungen für ω²
  • nur numerisch zu lösen (theoretisch ab n > 4, praktisch ab n > 2)
  • Lösungen ω_i aufsteigend sortieren
    • ω₁ < ω₂ < ... < ω_n
• 3. Schritt: Bestimmung der Eigenvektoren _i zu den Eigenwerten ω_i
  • homogenes lineares Gleichungssystem
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  • Lösung _i (Eigenvektor) i.a. festgelegt bis auf einen Faktor α
  • typische Wahlen für α
    • so, dass erste Komponente = 1
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    • so, dass Länge des Eigenvektors = 1
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  • zugehörige Schwingung (Eigenschwingung)
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  • Verfahren wiederholen für alle Eigenfrequenzen
  • Überlagerung der Eigenschwingungen ergibt allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung
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  • 2n freie Parameter
    • n Amplituden A_i
    • n Phasen φ_i
  • aus 2n Anfangsbedingungen
    • n Anfangsauslenkungen x(0)
    • n Anfangsgeschwindigkeiten (0)
• 4. Schritt: Modaltransformation
  • Modalmatrix = Matrix der Eigenvektoren
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  • stellt Zusammenhang zu Hauptkoordinaten y her
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  • macht die Matrizen M und C diagonal
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  • mit Diagonalmatrizen
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  • leicht zu invertieren
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  • reproduziert Eigenfrequenzen
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  • Bewegungsgleichungen der Hauptkoordinaten y_i entkoppelt
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  • Inverse Φ^-1 leicht zu berechnen
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  • Herleitung der Beziehungen im Anhang
• 5. Schritt: Anpassen an Anfangsbedingungen
  • Anfangsbedingungen in Hauptkoordinaten transformieren
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  • Lösung der entkoppelten Gleichungen wie im eindimensionalen Fall an die Anfangsbedingungen anpassen
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    • mit
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  • Rücktransformation zu den Ausgangskoordinaten
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