Anwendung im Standardbeispiel

• 1. Schritt:
  • Bewegungsgleichungen waren
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  • Steifigkeits- und Massenmatrix direkt ablesen (Nullen für fehlende Terme einfügen!)
    • 
• 2. Schritt:
  • Charakteristische Gleichung aufstellen
    • 
  • Eigenfrequenzen sind die positiven Lösungen
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• 3. Schritt:
  • homogenes Gleichungssystem mit
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  • In Komponenten ergibt das die zwei Gleichungen
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  • 2. Gleichung wird nicht benötigt (linear abhängig)
  • 1. Komponente wählen und Gleichung auflösen
    • _1,1 = 1 ⇒ _1,2 = 1
  • damit ist der 1. Eigenvektor
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  • analog für den 2. Eigenwert
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• 4. Schritt:
  • Modalmatrix
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  • modale Massenmatrix durch Matrixmultiplikation
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  • Inverse von m damit
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  • Inverse von Φ durch Matrixmultiplikation
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• 5. Schritt:
  • Anfangsbedingungen
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  • in Hauptkoordinaten transformieren
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  • Lösung in Hauptkoordinaten
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  • Rücktransformation
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• Skalierungstrick zur Vereinfachung der Rechnung:
  • gemeinsamen Faktor aller Matrixelemente von M bzw. von C herausziehen (z.B. Einheiten)
    • M = m M₀, C = c C₀
  • Einführen der Abkürzungen
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  • Damit vereinfacht sich die charakteristische Gleichung
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  • Praktisches Vorgehen damit
    • Faktoren aus Matrizen herausziehen
    • Abkürzungen definieren
    • charakteristische Gleichung in η² mit vereinfachten Matrizen lösen (Eigenwerte und Eigenvektoren)
    • Eigenwerte mit ω₀ multiplizieren
  • Achtung: ω₀ und η sind hier reine Hilfsgrößen
• Anwendung beim Standardbeispiel
  • Definition der Größen
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  • Berechnung der charakteristischen Gleichung
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  • Eigenwerte umskalieren
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• Aufgaben:
  • Aufgabe 4
  • Aufgabe 5
  • Aufgabe 6
  • Aufgabe 7