Die zweidimensionale Schwingerkette

• Zwei gekoppelte Schwinger mit viskoser Dämpfung:
  • Standardbeispiel mit Dämpfern
    
  • Bewegungsgleichungen
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  • in Matrixform
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  • mit
    • 
  • Ansatz
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  • ergibt
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  • Vereinfachung durch Einführung dimensionsloser Größen
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  • liefert
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  • nichttriviale Lösungen für verschwindende Determinante →
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• Lösungen des charakteristischen Polynoms:
  • allgemein
    • vier Lösungen (u.U. nicht alle verschieden)
    • reell oder paarweise konjugiert komplex
  • Veranschaulichung
    
  • Ausschnittsvergrößerung
    
  • große Dämpfung (D = 1.5)
    • vier negative Lösungen
    • Kriechfall für beide Eigenfunktionen
  • mittlere Dämpfung (D = 0.75)
    • zwei negative Lösungen
    • → Kriechen in einer Eigenfunktion
    • ein Paar konjugiert komplex mit negativem Realteil
    • → eine gedämpfte Schwingung
  • kleine Dämpfung (D = 0.25)
    • keine reellen Lösungen
    • zwei Paare konjugiert komplex mit negativem Realteil
    • → beide Eigenfunktionen sind gedämpfte Schwingungen
  • betrachten i.f. nur noch kleine Dämpfung (D = 0.25) mit Lösung
    
    • η_1,2 = -0.3792 ± j 0.9453
    • η_3,4 = -0.8708 ± j 1.4606
    sortieren nach (positivem) Imaginärteil
• Bedeutung der komplexen Lösung:
  • betrachten η₁ = -0.3792 + 0.9453 j →
    • λ = η₁ ω₀ = -0.3792 ω₀ + 0.9453 j ω₀
  • Einsetzen in Ansatz →
    • 
  • gedämpfte Schwingung mit Frequenz 0.9453 ω₀ und Dämpfung δ = 0.3792 ω₀
  • konjugiert komplexe Lösung η₂ liefert gleiche Schwingung
• Eigenfunktionen bei schwacher Dämpfung D = 0.25:
  • Einsetzen von η₁ in das homogene Gleichungssystem liefert den 1. Eigenvektor
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  • Eigenschwingung damit insgesamt
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  • Umschreiben von _1,2 in Polardarstellung
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  • Damit wird aus x_1,2(t)
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  • Der Realteil von x₁(t) liefert dann folgende relle Lösung
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  • Analog erhält man für den 2. Eigenvektor
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  • Daher lautet die 2. Eigenschwingung
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• Interpretation:
  • Eigenschwingungen im Bild (mit ω₀ = 1/s)
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  • beide Massen beschreiben eine gedämpfte Schwingung jeweils mit gleicher Frequenz und gleichem Abklingfaktor
  • ihre Amplituden entsprechen etwa den ungedämpften Bewegungen, aber ihre Schwingungen sind gegeneinander phasenverschoben