Lösung von Aufgabe 9

1. Ohne Dämpfung:
   • Bewegungsgleichung
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   • mit
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   • charakteristische Gleichung für η = ω s
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   • Lösungen
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   • Eigenfunktionen
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2. Mit symmetrischer Dämpfung:
   • Bewegungsgleichung
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   • mit M, C wie oben und
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   • charakteristische Gleichung
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   • einheitenlos: mit s²/kg multiplizieren, η = λ s →
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   • Lösungen
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   • komplexe Eigenschwingung zu η₁
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   • Setzen ₁ = 1 ⇒ ₂ = 1, also 1. Eigenvektor
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   • ist schon reell, daher Polarzerlegung einfach
     • r_i = z_i, φ_i = 0
   • Damit reelle 1. Eigenschwingung
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   • Analog erhält man den 2. Eigenvektor
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   • also die 2. Eigenschwingung
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   • Aufgrund der Symmetrie der Dämpfer und Federn bringt die Dämpfung die Eigenschwingungen nicht durcheinander: Beide Massen schwingen wie in a., wobei sie jeweils mit Re λ gedämpft werden. Die Frequenzen sind durch die Dämpfung etwas verschoben worden.
3. Mit unsymmetrischer Dämpfung:
   • Bewegungsgleichung wie in b. mit
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   • charakteristische Gleichung (mit η = λ s)
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   • Lösungen
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   • Eigenvektor zu λ₁
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   • in Polardarstellung
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   • reelle Lösung daher
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   • Eigenvektor zu λ₃
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   • in Polardarstellung
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   • also reelle Lösung
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   • Dämpfung ist insgesamt kleiner als bei b. →
     • Re(λ_i) sind kleiner als in b
     • Im(λ_i) sind fast wie in a
   • keine Symmetrie → Dämpfung koppelt die Eigenschwingungen
4. Anregung der 2. Eigenschwingung:
   • Die 2. Eigenschwingung und ihre Ableitung lauten
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   • Einsetzen von t = 0 ergibt also mit den Werten aus c.
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