Aufgabe 22
- Angenommen, die Frage, ob es heute regnet, hinge nur von
den Wetterbedingungen von gestern und vorgestern ab, nämlich:
- Wenn es zwei Tage hintereinander geregnet hat,
regnet es am nächsten Tag mit einer Wahrscheinlichkeit p = 0.7,
- wenn es gestern geregnet hat, vorgestern aber
trocken blieb, regnet es heute mit p = 0.5,
- wenn es gestern nicht geregnet hat, aber vorgestern,
regnet es heute mit p = 0.4,
- wenn es zwei Tage hintereinander trocken blieb,
regnet es am nächsten Tag mit p = 0.2.
- Dies ist kein Markov-Prozess, kann aber mit einem Trick
leicht zu einem gemacht werden:
- Man ordnet jedem Tag einen Zustand (X,Y) zu, wobei
- X = T bzw. X = R, wenn es am Vortag trocken war
bzw. geregnet hat,
- Y = T bzw. Y = R, wenn es am Tag selbst trocken
war bzw. geregnet hat.
- Damit hängt die Regen-Wahrscheinlichkeit an
einem Tag nur vom Zustand des Vortags ab.
- Berechnen Sie die Übergangs-Matrix des
entsprechenden Markov-Prozesses und zeichnen Sie den
Übergangs-Graphen. Ist der Prozess reduzibel oder irreduzibel?
Welche Zustände sind transient, welche rekurrent?
- Berechnen Sie die Gleichgewichtsverteilung auf drei
Weisen:
- per Hand
- durch Lösen des Gleichungssystems mit Matlab
- durch Bestimmen des Langzeitverhaltens
- An wievielen Tagen im Jahr regnet es durchschnittlich?