Parametertests bei Normalverteilung mit einer Stichprobe

• Voraussetzung:
  • in diesem Abschnitt wird angenommen, alle Stichprobenwerte X_i seien unabhängig normalverteilt mit gleichem μ und σ²
• Test auf μ bei bekanntem σ² (Gauß-z-Test):
  • H₀: μ ≤ μ₀, H₁: μ > μ₀
  • wähle Teststatistik
    • 
  • qualitativ
    • T groß → viele X_i > μ₀, also bei großem Wert von T verwerfen
    • gesucht: kritischer Wert c für T bei gegebenem α
  • H₀ gilt → T ~ N(0,1), daher
    • 
  • H₀ wird also verworfen ↔ T > z_1-α
  • analog für andere Seite mit gleichem T
    • H₀: μ ≥ μ₀, H₁: μ < μ₀
    • H₀ wird verworfen ↔ T < z_α
• Zweiseitiger Test:
  • H₀: μ = μ₀, H₁: μ ≠ μ₀
  • Abweichungen in beide Richtungen berücksichtigen, also verwende Teststatistik
    • 
  • Mit
    • 
    • erhält man
    • 
  • H₀ wird verworfen ↔ T > z_1-α/2
  • Rechnungen und Ergebnisse wie beim Konfidenzintervall
    • das gilt oft bei parametrischen Tests
• Beispiel Schraubendurchmesser:
  • Voraussetzungen
    • Durchmesser der produzierten Schrauben sind normalverteilt
    • Standardabweichung beträgt σ = 0.05 mm
  • Nullhypothese: Die produzierten Schrauben sind im Schnitt 5 mm dick.
    • Alternative: mittlerer Durchmesser der produzierten Schrauben ≠ 5 mm
  • Teststatistik T von oben, Signifikanzniveau α = 0.05
  • kritischer Wert c = z_1-α/2 = 1.9600
  • Stichprobenwerte x_i (in mm)
    • 4.9231 4.9934 4.9988 4.9669 4.9002 4.9238 4.8851 4.9959 4.9588 4.9878
  • Mittelwert 4.9534, Teststatistik T(x) = 2.9485 > c
    • → H₀ wird verworfen
  • T(x) ist deutlich zu groß, sein p-Wert ergibt sich zu
    • 
    • man würde die Nullhypothese also auch bei einem Signifikanzniveau von 0.5 % noch verwerfen!
• Test auf μ bei unbekanntem σ (Student-t-Test):
  • ganz analog zum Gauß-Test
  • Nullhypothese H_0a: μ ≤ μ₀
    • bzw. H_0b: μ ≥ μ₀ bzw. H_0c: μ = μ₀
  • schätze Standardabweichung wie üblich durch 
    • 
  • im einseitigen Fall wähle Teststatistik
    • 
    • im zweiseitigen Fall wähle |T|
  • H₀ gilt → T ~ t_n-1 (für a, b, bei c ohne Betrag)
  • kritische Werte für die drei Fälle
    • c_a =  t_n−1,1−α
    • c_b =  t_n−1,α
    • c_c =  t_{n−1,1−α/2}
  • H₀ wird verworfen falls T > c_a  bzw. T < c_b   bzw. T > c_c
• Beispiel Schraubendurchmesser:
  • noch einmal untersuchen unter Annahme, dass σ unbekannt
  • kritischer Wert c = t_{n−1,1−α/2} = 2.2622
    • größer als vorher, da weniger Information
  • Mittelwert 4.9534, Standardabweichung S = 0.0424
  • Teststatistik T(x) = 3.4801 > c → H₀ wird verworfen
  • T(x) ist größer als vorher, da S < σ
• Test auf σ bei unbekanntem μ (χ²-Streuungstest):
  • Nullhypothese H_0a: σ ≤ σ₀
    • bzw. H_0b: σ ≥ σ₀ bzw. H_0c: σ = σ₀
  • schätze σ durch S und wähle Teststatistik
    • 
  • H₀ gilt → T ~ χ²_n-1
  • kritische Werte für die drei Fälle
    • c_a =  χ²_n−1,1-α 
    •  c_b =  χ²_n−1,α
    • c_c1 =  χ²_n−1,α/2, c_c2 =  χ²_n−1,1-α/2
    • bei zweiseitigem Test zwei Werte, da χ²-Verteilung unsymmetrisch
  • H₀ wird verworfen falls
    • T > c_a
    • T < c_b
    • T < c_c1 oder T > c_c2
• Test auf σ bei bekanntem μ = μ₀ (χ²-Streuungstest):
  • wird selten gebraucht
  •  wie bei unbekanntem μ außer
    • ersetze in Formel für S berechneten Mittelwert durch μ₀
    • H₀ gilt → T ~ χ²_n (ein Freiheitsgrad mehr)
• Streuung beim Schraubenbeispiel:
  • Streuung der Schraubendurchmesser
    • zunächst angenommen: σ₀ = 0.05 mm
    • aus Stichprobe bestimmter Schätzer S = 0.0423 mm
  • Nullhypothese: Standardabweichung der Schraubendurchmesser beträgt σ = 0.05 mm
  • Überprüfen mit χ²-Streuungstest und obiger Stichprobe
    • kritische Werte: c₁ = 2.7004, c₂ = 19.0228
    • Teststatistik ergibt T(x) = 6.4606 → H₀ wird akzeptiert
• Aufgaben:
  • Aufgabe 34
  • Aufgabe 35