Parametertests bei Normalverteilung mit zwei Stichproben

• Zweistichprobentests für die Parameter der Normalverteilung:
  • betrachten zwei Messreihen X_i (i = 1...n), Y_j (j = 1...m)
  • Voraussetzungen
    • X_i, Y_j alle unabhängig
    • X_i ~ N(μ_x, σ²_x)
    • Y_j ~ N(μ_y, σ²_y)
  • Anwendung
    • Merkmal unter zwei unterschiedlichen Bedingungen
    • Merkmal in zwei verschiedenen Teilgesamtheiten
  • Beispiele
    • Wie wirkt sich eine Änderung in der Fertigung auf die Qualität des Produkts aus?
    • Wie unterscheiden sich Einkommen von männlichen und weiblichen Arbeitnehmern?
    • Wie wirkt sich ein Mathe-Vorkurs auf die Klausurergebnisse aus?
  • Auswahl der Testpersonen in der Praxis kritisch
    • Haben die Versuchsgruppen (außer dem untersuchten Unterschied) noch weitere Unterschiede?
    • Haben beim Auswahlverfahren alle in der betrachteten Grundgesamtheit gleiche Chance?
• Test auf μ_x = μ_y bei bekannten σ_x, σ_y (Zweistichproben-z-Test):
  • wähle Teststatistik
    • 
  • H₀ gilt → T ~ N(0,1)
  • kritischer Wert c = z_1−α/2
  • |T| > c ↔ H₀ wird verworfen
• Test auf μ_x = μ_y bei unbekannten, aber gleichen σ_x, σ_y (Zweistichproben-t-Test):
  • schätze S durch
    • 
    • dies S ist bester Schätzer für σ_x = σ_y
  • wähle Teststatistik
    • 
  • H₀ gilt → T ~ t_n+m-2
  • kritischer Wert c = t_{n+m-2,1−α/2}
  • |T| > c ↔ H₀ wird verworfen
  • Test auf μ_x = μ_y bei unbekannten, nicht notwendig gleichen σ_x und σ_y
    
    • erstaunlich schwierig (Behrens-Fisher-Problem)
    • Übersicht und ein Lösungsvorschlag in [4]
• Schraubenlänge nach Wartung:
  • Ist nach Wartung einer Maschine die mittlere Schraubenlänge noch gleich?
  • nehmen an, dass σ = 0.05 mm gleich geblieben ist
    • führen Zweistichproben-z-Test durch
  • Werte vorher
    • 4.9204 5.0422 5.0408 4.9438 4.8945 4.9160 4.9507 4.9470 4.9169 4.9653
  • Werte nachher
    • 4.9795 4.9359 4.9858 4.9968 5.0500 4.9599 5.0046 5.0137 4.8933 5.0202 4.9521 4.9837
  • Nullhypothese: mittlere Schraubenlänge vorher/nachher ist gleich
  • Signifikanzniveau α = 0.05
  • kritischer Wert c = z_1−α/2 = 1.9600
  • Ergebnisse
    • = 4.9538 mm
    • = 4.9813 mm
    • Teststatistik |T| = 1.2860
    • |T| ≤ c → H₀ wird akzeptiert
• Test auf σ_x = σ_y bei unbekannten μ_x und μ_y (F-Test):
  • schätze S_x, S_y wie immer durch
    • 
  •  wähle Teststatistik
    • 
  • H₀ gilt → T ~ F_{n-1, m-1}
    • F-Verteilung mit n-1 und m-1 Freiheitsgraden (s.u.)
    • Quantile bezeichnet mit F_n-1,m-1;α
  • F-Verteilung unsymmetrisch, daher zwei kritische Werte
    • c₁ = F_n-1,m-1;α/2
    • c₂ = F_{n-1,m-1;1-α/2}
  • T < c₁ oder T > c₂  ↔ H₀ wird verworfen
• F_m,n-Verteilung:
  • stetige Verteilungsfunktion mit Parametern m > 0, n > 0
  • Dichtefunktion
    • 
    • graphisch
    • 
  • Eigenschaften
    • 
  • Satz
    • Seien X, Y unabhängige Zufallsgrößen mit
    • X ~ χ²_m
    • Y ~ χ²_n
    • dann gilt
    • 
• Streuung der Schraubenlänge nach Verbesserung:
  • neue Maschine soll Qualität verbessern, insbesondere Streuung der Schraubenlängen verringern
  • Nullhypothese: Streuung der Schraubenlängen ist gleich geblieben
  • führen F-Test durch mit α = 0.01
    • kleiner Wert, weil man keine teure Maschine kaufen will, die nichts bringt
  • Werte vorher
    • 5.0739 5.0270 4.9914 4.9420 4.9071 4.9699 4.9388 4.8843 4.9489 4.9060
  • Werte nachher
    • 5.0333 4.9861 5.0199 4.9841 5.0012 5.0047 4.9904 5.0644 5.0240 5.0359
  • kritische Werte
    • c₁ = F_n-1,m-1;α/2 = 0.1529
    • c₂ = F_{n-1,m-1;1-α/2} = 6.5411
  • Ergebnisse
    • S_x = 0.0586 mm
    • S_y = 0.0258 mm
    • Teststatistik T = 5.1416
    • T > c₁ und T < c₂ → H₀ wird akzeptiert
  • Analyse
    • Daten rechtfertigen neue Maschine nicht
    • erscheint angesichts der Werte σ_x, σ_y unplausibel
    • möglicherweise Fehler 2.Art?
    • bei Test der gleichen Daten mit α = 0.05 würde H₀ verworfen
  • Ausweg: mehr Daten, n = m = 100, s. schrauben100.dat
    • kritische Werte c₁ = 0.5933, c₂ = 1.6854
    • S_x = 0.0501 mm, S_y = 0.0304 mm
    • Teststatistik T = 2.7083
    • T > c₂ → H₀ wird verworfen
    • p-Wert = 6.2512e-07 → Maschine kann guten Gewissens gekauft werden
• Aufgaben:
  • Aufgabe 36