Parametertests bei Bernoulli-Experimenten

• Exakter Binomialtest:
  • Ausgangspunkt
    • n unabhängige Bernoulli-Experimente ("Erfolg", "Misserfolg")
    • unbekannte Erfolgswahrscheinlichkeit p
  • Nullhypothesen
    • H_0a: p ≤ p₀ bzw. H_0b: p ≥ p₀ bzw. H_0c: p = p₀
  • Testgröße T = Zahl der Erfolge, wobei T ~ B(n, p₀)
  • T hat kumulative Verteilungsfunktion FB_n,p0, s.o.
  • Problem
    • FB nimmt nur einige diskrete Wert an, deswegen hat
    • P(T > c| H₀) = α  ⇔ FB_n,p0(c) = 1 - α
    • i.a. keine Lösung
  • stattdessen sucht man
    • 
  • analog für die anderen Fälle
    • 
  • H₀ wird verworfen falls
    • T ≥ c_a
    • T ≤ c_b
    • T ≤ c_c1 oder T ≥ c_c2
  • Berechnung der c-Werte
    • für große n etwas mühsam
    • in Matlab/STB kein Problem
    • FB_n,p(k) = binocdf(k, n, p)
    • binoinv ist Inverses von binocdf
  • statt c zu berechnen, hier leichter p-Wert, etwa im Fall a
    • pWert = P(T ≥ T(x) | H₀) = 1 - FB_n,p0(T(x))
• Abschätzen der Ausschussquote:
  • bei Schraubenproduktion entsteht Ausschuss (z.B. Grate im Gewinde)
    • Anteil soll mit neuer Maschine ≤ 0.5 % sein
  • Nullhypothese: p_Ausschuss ≤ 0.005
    • Alternative:  p_Ausschuss > 0.005
  • gewählt werde α = 0.05
  • Stichprobe von n = 2000 liefert T = 13 Ausschussteile
  • c_a = 15 → Hypothese wird akzeptiert
  • pWert = 0.1350 ≥ α, alles ok
• Genäherter Binomialtest:
  • für große n Rechnung erleichtern durch Standardisierung und zentralen Grenzwertsatz
    • 
    • mit Z ~ N(0,1)
    • verwerfen also für T > c_a
  • analog für die Fälle b, c
  • Faustregel: ab n p₀ (1 - p₀) > 9
  • noch genauer mit Stetigkeitskorrektur
  • im Schrauben-Beispiel
    • n p₀ (1 - p₀) = 9.95 → passt so gerade
    • ca = 15.1885
    • liefert hier gleiches Ergebnis
• Exakter Test nach Fisher:
  • Vergleich der Wahrscheinlichkeiten p_x, p_y zweier Bernoulli-Experimente X_i (i = 1...n), Y_j (j = 1...m)
  • H₀: p_x = p_y, H₁: p_x ≠ p_y
  • gemessen werde Zahl der Erfolge T_x, T_y
  • Grundidee
    • halte K = T_x + T_y fest (Gesamtzahl an Erfolgen)
    • betrachte T_x unter der Annahme von festem K = k (und der Annahme p_x = p_y)
  • man kann zeigen, dass T_x dann hypergeometrisch verteilt ist [Ross2, Zabluchko]
    • 
  • man wird H₀ ablehnen, falls (mit x₁ := T_x(X))
    
    • 
    • mit
    • 
  • mit Matlabs hygecdf leicht auszurechnen
  • p-Wert: pW = 2 min {p₁, p₂}
• Wirksamkeit eines Medikaments:
  • Studie will Wirksamkeit eines Medikaments prüfen
    • n = 100 Personen bekommen Medikament (Behandlungsgruppe), davon werden 40 gesund
    • m = 120 Personen bekommen Placebo (Kontrollgruppe), davon werden 42 gesund
  • Darstellung als Kontingenztafel

    • 	Medikament	Placebo	Summe
      Erfolg	40	42	82
      Misserfolg	60	78	138
      Summe	100	120	220

  • Erfolgsquoten 40% (Behandlunsgruppe) bzw. 35% (Kontrollgruppe)
    • Ist das signifikant (bei α = 0.05)?
    • Beachte: Unter H₀ (p_x = p_y) "gewinnt" in 50% der Fälle die Behandlungsgruppe!
  • Berechnung mit Matlab ergibt
    • p₁ = 0.8170
    • p₂ = 0.2663
  • Ergebnis
    • H₀ wird akzeptiert, d.h. die Wirkung des Medikaments ist nicht signifikant
    • Das gilt in beiden Richtungen: Es nützt wohl nichts, aber es schadet wohl auch nichts
• Aufgaben:
  • Aufgabe 37
  • Aufgabe 38