Einfache lineare Regression

• Problemstellung:
  • Messwerte (x_i, y_i) (i = 1, ..., n) einer Größe y in Abhängigkeit von x
  • Beispiel: Messwerte eines Zugversuchs, x = Dehnung, y = Spannung

    • xi [%]	0.0601	0.1437	0.2399	0.3468	0.4407	0.5386	0.6188	0.7471	0.8235	0.9344
      yi [N/mm2]	9.68	11.92	28.61	32.42	44.63	51.47	60.91	75.12	79.79	93.80

  • Annahme: linearer Zusammenhang zwischen x und y
    •  y = α + β x
    • 
  • gesucht: Schätzwerte für α, β
• Ausgleichsrechung:
  • für gegebene Messwerte n lineare Gleichungen für 2 Unbekannte
    • in Matrix-Schreibweise
    • A z = b
    • mit
    • 
  • suche Gerade mit kleinster quadratischer Abweichung
    • 
  • Lösung gegeben durch
    • (A^T A) z = A^T b
    •  vgl. Numerische Mathematik
  • konkret
    • 
    • mit dem Ergebnis
    • 
• Alternativer statistischer Ansatz (Regressionsanalyse):
  • y_i enthalten unabhängige normalverteilte Störungen ε_i ~ N(0, σ²)
  • Messergebnisse daher Zufallsvariablen
    • Y_i = α + β x_i + ε_i
  • x_i deterministisch angenommen
    • vereinfacht Theorie deutlich
    • gute Näherung, wenn x_i viel genauer bestimmbar als y_i
    • Theorie erweiterbar auf zufällige x_i
• Schätzer für α, β und σ:
  • verwenden für α und β Maximum-Likelihood-Schätzer
  • Y_i sind i.i.d. mit Y_i ~ N(α + β x_i, σ²)
  • Dichtefunktion also
    • 
    • ihr Logarithmus l = ln f
    • 
  • l als Funktion von α und β maximal ⇔
    • 
  • Ergebnis dasselbe wie bei Ausgleichsrechnung, also
    • 
  • ML-Schätzer für σ nicht erwartungstreu (wie üblich)
    • kleine Nennerkorrektur liefert erwartungstreuen Schätzer
    • 
  • mit Zahlenwerten von oben
    • a = 1.4088
    • b = 96.9147
    • s_y|x = 2.5538