Beschreibung von Strömungen

• Strömungsfeld :
  • Strömung = (u, v, w) gegeben durch Geschwindigkeit der Teilchen am Ort = (x, y, z) zur Zeit t
    • = (, t)
  • in Koordinaten
    • u = u(x, y, z, t)
    • v = v(x, y, z, t)
    • w = w(x, y, z, t)
  • Eulersche Beschreibung
  • Darstellung durch Richtungspfeile (für jede Zeit t)
    
  • bezogen auf ein Koordinatensystem, z.B.
    • ortsfest
    • mit konstanter Geschwindigkeit
    • mit Körper mitbewegt (z.B. Flugzeug)
  • stationäre Strömung: hängt nicht von t ab
• Teilchenbahn:
  • Weg eines Fluidteilchens oder kleinen Fluidvolumens in der Strömung
    
  • experimentell: Teilchen anfärben oder Testteilchen einbringen (Aluminiumflitter) und lange belichten
  • Bahnkurve bestimmt durch Anfangsort ₀ zur Zeit t₀
    • (t) = (t; ₀, t₀);
  • beschreibt die Strömung vollständig (Lagrangesche Beschreibung)
  • Geschwindigkeit der Teilchen
    • (, t) = d/dt
• Berechnung der Teilchenbahnen:
  • Differentialgleichungen für bei gegebenem
  • in Koordinaten
    • dx/dt = u(x, y, z, t)
    • dy/dt = v(x, y, z, t)
    • dz/dt = w(x, y, z, t)
  • Anfangsbedingung wählt ein Teilchen aus
    • ₀ = (t₀)
• Stromlinien:
  • Richtungsfeld von zu einer bestimmten Zeit t
    
  • Bild ändert sich mit der Zeit t
  • daher Stromlinien i.a. verschieden von Bahnlinien
  • Berechnung in 2 Dimensionen: (x, y) = (u, v)
    
    • dy/dx = v/u
  • experimentell: viele Markierungsteilchen, kurze Belichtungszeit
• Streichlinien:
  • experimentell: an fester Stelle ₀ werden ständig Markierungsteilchen hinzugefügt (Farbe, Rauch)
    
  • Streichlinie = Verbindungslinie dieser Teilchen
  • zur Zeit t gegeben durch
    • (t₀) = (t; ₀, t₀);
  • Parameter der Kurve ist t₀ = Zeit, zu der Teilchen eingesetzt wurde
• Stromfadentheorie:
  • Stationäre Strömung → Bahnlinie = Stromlinie = Streichlinie
  • Näherung: Größen hängen nur von der Koordinate längs ihrer Stromlinie ab
    
  • Bündel aus vielen Stromlinien: Stromröhre, ganz dünn: Stromfaden
  • Stromlinien = Bahnlinien → kein Stofftransport durch die Mantelfläche einer Stromröhre
• Aufgaben:
  • Aufgabe 10