Laminare Strömung in kreisförmigen Rohren

• Geschwindigkeitsprofil im Rohr:
  • Geschwindigkeit an der Rohrwand = 0 (Haftbedingung)
  • laminare Strömung →
    • achsenparallele Schichten
    • w hängt nur vom Radius r ab
      [1]
  • Schubspannung aufgrund unterschiedlicher Geschwindigkeit
    • τ = - η dw/dr
  • entsprechende Reibungskraft am Zylinder
    • 
  • äußere Druckkraft auf Zylinder
    • F_p = π r² (p₁ - p₂)
  • Kräftegleichgewicht ⇒
    • 
  • Integrieren ⇒
    • 
  • Integrationskonstante aus Randbedingung w(r₀) = 0 ⇒
    • 
  • maximale Geschwindigkeit bei r = 0:
    • 
• Bestimmung des Volumenstroms:
  • Strom durch dünnen Zylinderring
    • 
    • 
  • Integrieren
    • 
• Mittlere Geschwindigkeit :
  • definiert durch
    • = A
  • mit Hagen-Poiseuille
    • 
• Druckabfall:
  • mit
    • r₀ = d/2
    • η = ν ρ
  • folgt aus Hagen-Poiseuille
    • 
  • setzt man noch
    • = π d²/4
  • ergibt sich
    • p₁ - p₂ = 32 ν ρ l /d²
• Dimensionslose Form:
  • dimensionslose Rohrreibungszahl
    • 
  • p₁ - p₂ von oben einsetzen ⇒
    • 
  • Vergleich mit der Definition der Widerstandszahl liefert
    • ζ = λ l/d
• Aufgaben:
  • Aufgabe 19