Mathematisches Pendel mit Anregung

Wir betrachten nun das mathematische Pendel mit äußerer Anregung, beschrieben durch die Differentialgleichung

$\displaystyle \ddot{\varphi} + \lambda \dot{\varphi} + \sin(\varphi) = A \cos(\omega_{\text{ext}}t) $

Dabei wurde durch eine geschickte Umskalierung der Variablen die Zahl der Parameter auf drei reduziert. Dies vereinfacht die Analyse, ohne dass physikalische Information dabei verloren geht.

Dieses System zeigt in Abhängigkeit der Parameter sehr unterschiedliches Verhalten. Wir halten im Folgenden $ \lambda = 0.5$ und $ \omega_{\text{ext}}=0.667$ fest und betrachten die Fälle:

  1. A = 1.0

    Das Pendel folgt nach einer Einschwingphase der Anregung mit einer festen Amplitude und Phasenverschiebung. Allerdings zeigt die Winkelgeschwindigkeit deutlich, dass die Bewegung nicht harmonisch ist.

    Untersuchen Sie, ob die vom linearen Fall bekannten qualitativen Phänomene und Beziehungen noch gelten. Betrachten Sie auch wieder den Einfluss der Anfangsamplitude.

  2. A = 1.07

    Nach einer längeren Einschwingphase schwingt das Pendel wieder mit. Dabei tritt nun ein seltsames Phänomen auf: Bei jeder zweiten Schwingung geht das Pendel über den oberen Umkehrpunkt hinaus (deutlich an den Sprüngen im Diagramm zu erkennen) und wird dann wieder durch die Anregung auf die normale Bewegung zurückgezogen. Die Schwingungsform des Pendels wiederholt sich also nicht mit der Frequenz des Anregers, sondern mit der Hälfte davon. Dieses Phänomen (bekannt als Periodenverdopplung) ist ein sicheres Zeichen dafür, dass das System »kurz davor« ist, sich chaotisch zu verhalten.

    Verändern Sie die Anregung etwas und untersuchen Sie, ob weitere Änderungen der Periode auftreten. Hängt die Periode der Bewegung von den Anfangsbedingungen ab?

  3. A = 1.22

    Auch nach einer längeren Zeit lässt sich keine Regelmäßigkeit der Bewegung feststellen: Das Pendel schwingt anscheinend völlig chaotisch hin und her, überschlägt sich immer wieder, mal in der einen, mal in der anderen Richtung.

    Um dieses Verhalten etwas näher zu studieren, machen Sie folgende Messung: Jedesmal, wenn die Anregung im Maximum ist, notieren Sie den Wert der Pendelauslenkung $ \varphi$, wobei Sie nicht modulo $ 2\pi$ rechnen! (Tipp: Wählen Sie im Oszilloskop eine möglichst kleine Skala.) Bestimmen Sie daraus eine Folge ganzer Zahlen $ P_n$, die angibt, wie oft sich das Pendel insgesamt bisher überschlagen hat:

    $\displaystyle P_n = \lceil \varphi_n/(2\pi) \rceil $

    Wie würden Sie die Zahlenfolge $ P_n$ charakterisieren?

    Wiederholen Sie dieses Experiment mit verschiedenen Anfangsbedingungen oder mit etwas anderen Parameterwerten. Finden Sie eine Regelmäßigkeit?

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