Fouriersynthese mit Kosinusfunktionen

Zur Darstellung von geraden, d.h. zur y-Achse spiegelsymmetrischen, Funktionen benötigt man in der Fourierreihe nur die Kosinusanteile, d.h. alle $ b_k$ sind 0. Da die Sinus- und Kosinusfunktionen den Mittelwert 0 haben, braucht man zum Verschieben in y-Richtung noch einen konstanten Term, der in der Fourierreihe als $ \displaystyle \frac{a_0}{2}$ auftaucht. Der seltsame Faktor $ \frac{1}{2}$ sorgt dafür, dass die Formel für die Koeffizienten $ a_k$ unverändert auch für k = 0 gilt. Er ergibt sich zwanglos, wenn man von der komplexen Form der Fourierreihe ausgeht.

Eine schöne Dreiecksschwingung bekommt man, wenn man die geraden Koeffizienten zu 0 macht und für die ungeraden setzt:

$\displaystyle a_k = \frac{1}{k^2} \qquad k = 1, 3, 5, \dots $

Verwendet man die Koeffizienten einer einfachen Sinusreihe, ergeben sich völlig anders aussehende Funktionen. Übernimmt man z.B. die Werte der Sägezahnschwingung:

$\displaystyle a_k = \frac{1}{k} \qquad k = 1, 2, 3, \dots $

erinnert das Ergebnis an Parabelstücke. Tatsächlich handelt es sich um eine Approximation der Funktion (vgl. [5])

$\displaystyle x(t) = -ln(2 \sin(\frac{x}{2})) $

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