Erstellen eigener Funktionen

Funktion:
- Teilprogramm, das als "Black Box" abläuft
- hat Eingangsgrößen (Parameter) und Ergebnisse
- Beispiel y = sin(t)
  - Parameter t
  - Ergebnis y
  - berechnet den Sinus des Parameters t (im Bogenmaß)
- Beispiel h = plot(X, Y)
  - Parameter X, Y (Vektoren mit x- bzw. y-Koordinaten)
  - Ergebniswert h (Zeiger auf die Graphik für nachfolgende Modifikationen)
  - zeichnet einen Streckenzug durch die Punkte (X(i), Y(i))
- Parameter
  - Anzahl und Typ normalerweise festgelegt
  - in Matlab auch Funktionen mit variabler Parameterzahl (z.B. plot)
- Ergebniswert kann ignoriert werden
  - plot(X,Y)
- auch mehrere Ergebnise möglich
  - [theta,rho] = cart2pol(x,y)
Berechnung bestimmter Integrale mit Trapezregel:
- sehr einfaches Verfahren zur numerischen Integration
- Prinzip
  - Unterteilung des Integrationsintervalls in N Teile
  - Funktion in jedem Intervall durch Strecke nähern
  - Fläche der sich ergebenden Trapeze addieren
- in Formeln
  - Zahl der Intervalle N vorgeben
  - Breite h der Intervalle
  - h = (b - a)/N
  - Fläche F_i eines Trapezes
  - Integral damit
- Beispiel i.f.
- Berechnung von I in Matlab
  - ```
  >> a = 0;
  >> b = pi/2;
  >> N = 5;
  >> h = (b-a)/N;
  >> x = a:h:b;
  >> y = sin(x);
  >> I = h*(0.5*y(1) + sum(y(2:N)) + 0.5*y(N+1))
  
  I =
  
      0.9918   
```
- ganz genauso für N = 100 ergibt (mit format long)
  - I = 0.99997943823961
Eigene Funktionen in Matlab:
- als Skript (keine Funktion)
  - alle Kommandos in eine Datei trapez1.m
  - mit trapez1 (Dateiname) aufrufen
  - zur Erklärung Kommentare einfügen (von % bis zum Zeilenende)
  - alle Variablen landen im (Basis-)Workspace
  - Problem: alle Parameter direkt in Datei ändern
- als Funktion
  - alle Kommandos in Datei trapez2.m
  - hat eigenen Workspace für ihre internen Variablen (h, x, y)
  - erste Zeile definiert Funktionsnamen und Argumente
  - function trapez2(a, b, N)
- benutzen mit
  - ```
  >> trapez2(0, pi/2, 1000)
  
  ans =
  
     0.99999979438323
```
- Kommentar am Anfang wird Hilfetext
  - ```
  >> help trapez2
  
    Integration mit der Trapezregel
      Argumente
          Grenzen a, b
          Zahl der Intervalle N
      Ergebnis
        Integral des Sinus von a bis b,
        genaehert mit Trapezregel mit N Intervallen
```
- andere Funktion als Sinus
  - Funktion als neues Argument func (s. trapez.m)
  - ersetze sin(x) durch func(x)
  - aufrufen mit Funktionszeiger ("function handle"): @FUNKTIONSNAME
  - ```
  >> trapez(@cos, 0, pi, 100)
  
  ans =
  
       8.370884395220717e-17
```
- beliebige Funktion integrieren
  - gewünschte Funktion als eigene Matlab-Funktion
  - z.B. Fehlerintegral e^-x² (glocke.m)
  - ```
  >> glocke(1)
  
  ans =
  
     0.36787944117144
```
- damit in trapez
- ```
>> trapez(@glocke, 0, 10, 1000)

ans =

   0.88622692545276
```
Bessere Integrationsmethoden:
- Funktion durch Parabeln statt Geraden annähern (Simpson-Methode)
- Intervalle nicht gleich groß, sondern geschickt anpassen
  - unzählige Verfahren
  - kann auch mit schwierigen Integranden fertigwerden
  - nicht möglich bei Tabellenfunktionen
- Matlabfunktion integral berechnet Integral auf relative Genauigkeit 1e-6
  - integral(@glocke, 0, 10)
Aufgaben:
- Aufgabe 3
- Aufgabe 4