Explizite Einschrittverfahren

• Schwingungstilger:
  • Problem: schwach gedämpftes System gerät durch äußere Anregung in starke Schwingungen
  • Beispiele
    • Lenksäule durch Motorvibrationen
    • Prüfmaschine durch Motorunwucht
    • freie Treppe durch Fußgänger
    • Mast einer Windkraftanlage durch Rotorbewegung
  • Abhilfe: Einbau eines Tilgers = zusätzliche schwingende Masse, die Schwingungsenergie aufnimmt
    • 
  • Dauerschwingungen von Masse und Tilger mit Standardverfahren der Schwingungslehre berechenbar
    • 
  • aber: wie stark schwingt der Tilger am Anfang (Einschwingverhalten)?
  • ausprobieren mit Applet
    • 
  • Lösung der Bewegungsgleichung erforderlich
• Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen [9]:
  • Anfangswertproblem
    • Gesucht ist eine vektorwertige Funktion y(t), die die Differentialgleichung
    • 
    • löst und die Anfangsbedingung
    • 
    • erfüllt.
  • Satz von Peano:
    • Ist f stetig, so hat das Anfangswertproblem eine Lösung (für eine Umgebung von t₀).
  • Satz von Picard-Lindelöf
    • Erfüllt f die lokale Lipschitz-Bedingung
    • 
    • dann hat das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung.
  • Hinreichend für die Lipschitz-Bedingung ist die Existenz und Beschränktheit der partiellen Ableitung .
  • Beispiel
    • Das Anfangswertproblem
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    • hat (u.a.) die zwei Lösungen
    • 
• Differentialgleichungen höherer Ordnung:
  • lassen sich zurückführen auf 1. Ordnung durch Einführen der niedrigeren Ableitungen als zusätzliche Variable
  • Beispielproblem
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  • als zweite Variable einführen
    • 
  • dann erhält man ein zweidimensionales System 1. Ordnung
    • 
    • mit der Anfangsbedingung
    • 
• Euler-Verfahren:
  • schrittweise von einem Punkt y(t) zu einem nächsten y(t + h) vorantasten
  • für kleine Schrittweite h gilt in 1. Ordnung in h
    • 
  • Beispiel "exponentieller Zerfall"
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    • mit λ = 0.1
  • mit der konkreten Funktion f(t,y) = -λ y
    • 
  • schrittweise erhält man die Näherungslösung zu
    • 
  • im Bild
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• Methode von Heun:
  • Verbesserung der Genauigkeit durch Mittelwert über mehrere Steigungen
  • Mittelwert über Steigung k₁ bei t und k₂ bei t+h
    • 
  • Steigung k₁ wie bei Euler direkt aus der Gleichung
    • 
  • Steigung k₂ bei t+h geschätzt mit Eulerschritt
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  • im Beispiel "exponentieller Zerfall"
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  • im Bild
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  • Vergleich mit Euler bei h = 5
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• Genauigkeit des Heun-Verfahrens:
  • Taylorreihe für y(t+h) bis zur 2. Ordnung in h
    • 
  • Einsetzen der DGL →
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  • wobei die Argumente (t, y(t)) jeweils weggelassen werden
  • Berechnen der Ableitung von f mit den partiellen Ableitungen
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  • und der Kettenregel
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  • ergibt
    • 
  • dagegen ist beim Heun-Verfahren, bis zur 2. Ordnung gerechnet
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  • Genauigkeit eines Schritts also 2. Ordnung in h
• Runge-Kutta-Verfahren:
  • Mittelung über mehrere Zwischensteigungen k_i, so dass hohe Ordnungen in h erreicht werden
  • allgemeines Schema bei s Stufen
    • 
  • benötigte Werte

    • ai	Zwischenpositionen	immer a1 = 0
      bij	Bestimmen von ki aus älteren kj	untere Dreiecksmatrix
      ci	Kombination der ki

  • angegeben als Butcher-Diagramm
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  • etwa bei Heun
    • 
  • "klassisches" Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung
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  • Berechnung der Koeffizienten für höhere Ordnungen sehr aufwändig
• Schrittweitensteuerung:
  • Idee: passe Schrittweite h an Problembereich an
    • kleines h bei schnellen Änderungen
    • großes h bei Bereichen mit wenig Schwankungen
  • Vorteile
    • sehr viel schneller
    • lokaler Fehler an vorgegebene Genauigkeit tol anpassbar
  • einfachstes Verfahren
    • 1 Schritt mit h
    • 2 Schritte mit h/2
    • daraus lokalen Fehler ε abschätzen
    • ε ≈ tol → genaueren Wert nehmen, h lassen
    • ε < tol → genaueren Wert nehmen, h vergrößern
    • ε > tol → Wert nicht nehmen, h verkleinern und Schritt wiederholen
  • viele Details müssen geklärt werden
    • Anfangswert für h
    • Bereich für ε, so dass h gleich bleibt
    • konkrete Vergrößerung/Verkleinerung von h
    • wie klein darf h werden ?
• Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren RKp(q):
  • effizientere Methode
    • Schritt h mit zwei Ordnungen p und q rechnen
    • daraus Fehler ε abschätzen
  • liefern neuen Wert der Ordnung p und Fehlerschätzung
  • verwenden dafür jeweils im wesentlichen die gleichen k_i-Werte
  • Beispiel RK3(2) von Bogacki und Shampine
    • Tableau für den neuen Wert
    • 
    • Berechnung des Fehlers ε verwendet neuen Wert y(t+h)
    • 
  • bestes bekanntes Verfahren RK5(4) von Dormand und Prince
• Algorithmus von ode23 [1]:
  • leicht vereinfacht
    • einige mögliche Fehlersituationen nicht abgeprüft
    • Annahme t₁ > t₀ ≥ 0
  • Vorgaben
    • 
  • Anfangswert für h
    • 
  • h-Schritt
    • y(t+h) und ε mit RK3(2) berechnen
  • Prüfen des lokalen Fehlers
    • 
    • ε_lok ≤ ε_rel →
    • y-Wert wird akzeptiert
    • k₁ = k₄ (braucht nicht neu berechnet zu werden)
  • Berechnung des neuen h
    • 
• Matlab-Funktionen:
  • rechte Seite f(t,y) der Differentialgleichung
    • als Matlabfunktion erstellen
    • Ergebnis ist ein Spaltenvektor!
  • diverse DGL-Solver
    • ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb
    • sinnvoller Standardsolver: ode45
  • Aufruf jeweils
    • [t,y] = odeXY(func, tSpan, y0 [,options]);
    • mit

    • func	Funktion f(t,y)
      tSpan = [t0 t1]	Start- und Endzeit
      y0	Vektor mit Startwerten y(t0)
      options	optionale Struktur mit Optionen
      t	Ergebnisvektor mit Zeiten ti
      y	Ergebnismatrix mit Funktionswerten y(ti) eine Spalte pro Komponente von y

  • Verändern der Standardoptionen
    • options = odeset("name1",value1,"name2",value2,...)
    • einige Optionen

    • Name	Standardwert	Bedeutung
      RelTol	1e-3	relativer Fehler
      AbsTol	1e-6	absoluter Fehler
      Refine	1	Faktor für zusätzliche Ausgabezeitpunkte
      Stats	"off"	Ausgabe von Statistikdaten bei "on"

• Aufgaben:
  • Aufgabe 19
  • Aufgabe 20