Freie Schwingung mit viskoser Dämpfung

Feder-Masse-System:
- wie oben, aber zusätzlich mit Dämpfer
- als Applet zum Experimentieren
  - (Ortsraum)
  - (Phasenraum)
- Reibungskraft
  - F_R = - b v
- Bewegungsgleichung
  - F_f + F_R - m = 0
- mit den Abkürzungen
- hat man etwas übersichtlicher
  - + 2 δ + ω₀² x = 0
Lösung der Bewegungsgleichung:
- Exponentialansatz x(t) = e^{λ t} führt auf folgende Bestimmungsgleichung für λ
  - λ² + 2 δ λ + ω₀² = 0
- Lösung
- Ergebnis hängt ab vom Vorzeichen des Terms unter der Wurzel
- drei Fälle, abhängig vom Dämpfungsmaß D := δ/ω₀
  
  D < 1 → 2 komplexe Werte für λ
  
  D > 1 → 2 reelle Werte für λ
  
  D = 1 → 1 reeller Wert für λ
Fall D < 1 (gedämpfte Schwingung):
- mit weiterer Abkürzung
- ist
  - λ_1,2 = - δ ± j ω
- damit Lösungen
  - x_{a, b}(t) = e^{-δ
    t} e^{± j ω
    t}
- reelle Lösung als Superposition von Real- und Imaginärteil
  - x(t) = e^{-δ
    t} (A cos(ω t) + B sin(ω t))
    
    = e^{-δ
    t} cos(ω t + φ)
- Darstellung im Ortsraum
- Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Maximalwerte
  - q := x_i/x_i+1 = e^{δ
    T}
- mit Schwingungsdauer T = 2π/ω
- Logarithmieren →
  - Λ := ln(q) = δ T (logarithmisches Dämpfungsmaß)
- Darstellung im Phasenraum
Fall D > 1 (Kriechfall):
- allgemeine Lösung
- A, B aus den Anfangsbedingungen
- Term mit B dominiert bald
- Darstellung im Ortsraum
- Darstellung im Phasenraum
Fall D = 1 (aperiodischer Grenzfall):
- Grenzfall bei der kritischen Dämpfung
  - b = 2 m ω₀
- Einfacher Exponentialansatz liefert nur eine Lösung
- allgemeine Lösung
  - x(t) = (A + B t) e^{-δ
    t}
- mit dem Ansatz
  - x(t) = y(t) e^{-δ
    t}
- oder einfach Verifizieren durch Einsetzen
- Darstellung im Ortsraum
- Darstellung im Phasenraum
- klingt bei gegebenem ω₀ am schnellsten ab
- wichtig für Schwingungsdämpfer, Messgeräte etc.
Aufgaben:

D < 1	→ 2 komplexe Werte für λ
D > 1	→ 2 reelle Werte für λ
D = 1	→ 1 reeller Wert für λ

x(t)	= e^{-δ t} (A cos(ω t) + B sin(ω t))
	= e^{-δ t} cos(ω t + φ)