Lösung von Aufgabe 12

1. Schwingungsdauer:
   • Für kleine Auslenkungen gilt in guter Näherung die linearisierte Bewegungsgleichung von Aufgabe 8
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   • Dies ist genau die Bewegungsgleichung der ungedämpften freien Schwingung mit
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   • also erhält man als Schwingungsdauer
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2. Verhalten bei c = 50 N/m:
   • Der Vorfaktor ω₀² vor φ ist jetzt negativ, formal ist T also imaginär.
   • Physikalische Interpretation: Die Gesamtkraft (Feder + Schwerkraft) wirkt der Auslenkung φ nicht entgegen, sondern verstärkt sie. Die Gleichgewichtslage des Pendels ist dann instabil.
3. Lösung der nichtlinearen Bewegungsgleichung mit Matlab:
   • Die Bewegungsgleichung wird in Standardweise in ein System 1. Ordnung überführt und die rechte Seite als Matlabfunktion dgl12 definiert. Das Gleichungssystem wird mit ode45 gelöst und für die vier Anfangswerte geplottet:
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   • Interpretation:
     • Bei kleiner Auslenkung entspricht die Schwingung der linearen Näherung.
     • Für größeres φ₀ ist die Schwingung noch immer näherungsweise harmonisch, aber die Schwingungsdauer ist deutlich größer.
     • Startet man kurz unterhalb des instabilen Gleichgewichtspunkts, erhält man immer noch eine Schwingung um 0, aber sie ist stark anharmonisch.
     • Bei einem Startwert oberhalb des instabilen Gleichgewichtspunkts kippt das Pendel um.
   • Bewegung bei halber Federkonstante:
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   • Selbst bei kleiner Auslenkung kippt das Pendel um. Das seltsame Langzeitverhalten ist unphysikalisch, es beruht auf der Annahme einer stets waagerechten Feder, die nach kurzer Zeit stark verletzt ist.
   • vollständiges Matlab-Skript zur Aufgabe