Lösung von Aufgabe 5

Das Matlab-Skript ex5.m berechnet alle benötigten Größen und erstellt die geforderten Plots. Bemerkungen dazu:

1. Bestimmung der Fourierkoeffizienten
   • Die Ortskurve x(t) der Schubkurbelbewegung ist gerade (symmetrisch zur x-Achse), denn für
     • 
   • gilt offensichtlich
     • x(-t) = x(t)
   • Daher sind die Koeffizienten b_n der Sinusreihe alle 0.
   • Die Parameter l₂ und ω spielen für die Form des Spektrums keine entscheidende Rolle:
     • l₂ skaliert (bei festem Schubstangenverhältnis λ) lediglich x(t), ist also für alle Fourierkoeffizienten ein gemeinsamer Faktor;
     • ω tritt nur als Faktor von t auf, gibt also die Grundfrequenz vor, ohne die Koeffizienten zu beeinflussen.
   • Im weiteren werden sie fest gewählt zu
     • l₂ = 1
     • ω = 2 π (also T = 1)
   • Zur Berechnung der Kosinusreihe werden die Integrale
     • 
   • mit Hilfe der Matlab-Funktion quadl berechnet. Dazu muss die Ortskurve x(t) selbst als Matlab-Funktion definiert werden, etwa wie in schubkurbel.m.
   • quadl erlaubt keine Vektoren als Funktionsparameter → Berechnung der a_n als for-Schleife über n
   • Ergebnis für λ = 0.4

     • n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
       an	1.9174	0.4000	0.0417	0.0000	-0.0005	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000

     • Bei normalen Werten für λ reicht es in der Regel aus, die 1. Oberschwingung (n = 2) zu berücksichtigen. Wichtiger Anwendungsfall: Motorvibrationen im Kraftfahrzeug.
   • Ergebnis für λ = 0.99

     • n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
       an	1.3095	0.9900	0.3964	0.0000	-0.0681	0.0000	0.0243	0.0000	-0.0111	0.0000	0.0057

     • λ ≈ 1 → höhere Oberwellen treten auf.
   • Darstellung der Koeffizienten mit der speziellen Plotfunktion stem und einigen Tricks
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     • hold on zur Darstellung mehrerer Kurven in einem Plot
     • Verschiebung in x-Richtung um ± 0.1 → Plots erscheinen nebeneinander
     • Legende handgestrickt mit text und explizitem Plot eines Rahmen
2. Ortskurve mit Applet
   • Eingabe der Koeffizienten liefert erwartete Ortskurven
   • Achtung:
     • Offset = a₀/2
3. Plotten der Ortskurven mit Matlab
   • Summation der Harmonischen nicht über Schleife, sondern mit Matrix-Operationen

     • t	Vektor mit Zeitwerten
       om*[0:N]'*t	Matrix, jede Zeile eine Zeitreihe, jeweils anderes n pro Zeile
       a'*cos(om*[0:N]'*t)	Matrixmultiplikation → Jede Zeile wird mit dem entsprechenden Wert an multipliziert und alles aufaddiert

   • Plot liefert Übereinstimmung von originaler Ortskurve und Fourierreihe
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   • erst Vergrößerung zeigt leichte Abweichung bei λ = 0.99
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