Energiegleichung
Energien bei der Stromröhre:
betrachten stationäre reibungsfreie Strömung im Gravitationsfeld
auftretende Energieformen
E
pot
= m g z
E
kin
= 1/2 m w
2
E
druck
= p V = m p / ρ
E
druck
= verrichtete Arbeit, um Masse m mit Volumen V gegen den Druck p durchzuschieben (
Volumenänderungsarbeit
)
keine Änderung der inneren Energie (keine Reibung, Temperatur konstant)
keine zusätzliche äußere Arbeit
Gesamtenergie an jedem Querschnitt A konstant
E
= E
pot
+ E
kin
+ E
druck
= m g z + 1/2 m w
2
+ m p / ρ
= const.
mit ρ/m multiplizieren → Dimension des Drucks
ρ g z + p + ρ/2 w
2
= const (
Bernoulli-Gleichung
)
grafische Darstellung
Technische Arbeit W
t12
:
extern am Fluid geleistete Arbeit
z.B. Pumpe (W
t12
> 0) oder Turbine (W
t12
< 0)
spezifische technische Arbeit
w
t12
= W
t12
/m
Bernoulli-Gleichung bei technischer Arbeit zwischen Punkt 1 und 2
ρ g z
2
+ p
2
+ ρ/2 w
2
2
= ρ g z
1
+ p
1
+ ρ/2 w
1
2
+ ρ w
t12
Staudruck:
durch die Strömung verursachter dynamischer Druck ρ/2 w
2
wirkt nur in Strömungsrichtung
kann z.B. bei der Umströmung eines Körpers gemessen werden
Grundprinzip des Prandtl-Rohrs zur Messung der Strömungsgeschwindigkeit
Ausfluss aus einem Behälter:
Flüssigkeit laufe reibungsfrei aus einem Gefäß
Bernoulli-Gleichung am oberen Wasserspiegel und an Austrittsöffnung
Drücke gleich dem Außendruck
p
1
= p
2
= p
a
Zusammenhang zwischen w
1
und w
2
aus der Kontinuitätsgleichung
w
1
A
1
= w
2
A
2
w
1
in Bernoulli-Gleichung einsetzen und nach w
2
auflösen ⇒
mit der Höhendifferenz h = z
1
- z
2
für A
2
<< A
1
gilt näherungsweise die Ausflussformel von Torricelli
Hydrodynamisches Paradoxon:
Flüssigkeit fließe aus einem Rohr zwischen zwei parallele Platten, dort radial nach außen
Größen am äußeren Rand p
a
etc.
Größen irgendwo im Innenbereich der Platten p
i
etc.
aus Bernoulli-Gleichung folgt
durchflossener Zylindermantel im Innern kleiner als außen →
w nimmt nach außen ab
w
a
< w
i
p
a
> p
i
Außendruck p
a
gegen untere Platte drückt Platte gegen das Rohr
Strahlpumpe:
waagerechte Rohrleitung wird verengt
an der Verengungsstelle wird ein Steigrohr angebracht
Geschwindigkeit w
2
an der Verengungsstelle mit Kontinuitätsgleichung
w
1
A
1
= w
2
A
2
A = π d
2
/4
⇒ w
2
= w
1
· d
1
2
/d
2
2
> w
1
Druck p
2
mit Bernoulli-Gleichung
p
1
+ ρ/2 w
1
2
= p
2
+ ρ/2 w
2
2
⇒
p
2
= p
1
- ρ/2 (w
2
2
- w
1
2
)
= p
1
- ρ/2 w
1
2
(d
1
4
/d
2
4
- 1)
Geschwindigkeit w im Saugrohr bei maximaler Steighöhe h nahezu 0
bei Außendruck p
0
ergibt Bernoulli
p
2
+ ρ g h = p
0
⇒ h = (p
0
- p
2
)/(ρ g)
häufiges Prinzip zum Pumpen oder Mischen, z.B.
Wasserstrahlpumpe
Zerstäuber
Vergaser
in der Praxis erhebliche Verluste durch Reibung und Turbulenz beim Mischen
Aufgaben:
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5