Impulssatz

• Kräfte bei einer Stromröhre:
• Newton:
  • Summe aller Impulsänderungen + Summe aller äußeren Kräfte = 0
  • 
• auftretende Kräfte
  • Volumenkräfte durch äußere Felder (z.B. Schwerkraft)
  • Druckkräfte auf Oberflächen
  • Reaktionskräfte von festen Oberflächen
• Impulsänderung im Fluid
  • 
• speziell für stationäre inkompressible Strömungen:

  d/dt	=
  	= ρ

• positives Vorzeichen:
  • in das Kontrollvolumen hineinfließende Impulsströme
  • Kräfte auf das Fluid
• Kraft auf ein gekrümmtes Rohr:
  • Strömung durch gebogenes Rohr, Ablenkungswinkel θ
    
  • Durchmesser d = const. → Geschwindigkeit || = const.
  • kein Gefälle, keine Reibung → p = const.
    
  • Kräfte auf Fluid am Eingang (senkrecht zur Querschnittsfläche nach innen)
    • Druckkraft _p1 = -p ₁
    • Impulskraft _i1 = ρ ₁ = -ρ ₁ w²
    • Gesamtkraft: ₁ = -₁ (p + ρ w²)
  • analog am Ausgang (senkrecht zur Querschnittsfläche nach außen)
    • Gesamtkraft: ₂ = -₂ (p + ρ w²)
  • Gesamtkraft = ₁ + ₂ = - (p + ρ w²)(₁ + ₂)
    

    |1 + 2|	= 2 A sin(θ/2)
    ⇒    F	= 2 A (p + ρ w2) sin(θ/2)

  • = Kraft von Fluid auf Wand
  • gleichgroße Gegenkraft - der Wand bewirkt Richtungsänderung des Fluids
• Stoß auf ebene Wand:
  • Flüssigkeitsstrahl stoße frei auf senkrechte Wand
    
  • Näherung in der Nähe des Auftreffpunkts:
    • Flüssigkeit läuft senkrecht ab
    • keine Änderung des Betrags der Geschwindigkeit
  • Stoßkraft auf die Wand

    F	= ρ
    	= ρ A w2

• Schaufelkraft im ebenen Schaufelgitter:
  • Strömung durch eine Reihe von Profilen in gleichem Abstand t, Breite b
    
  • y-Achse in Richtung des Gitters, x-Achse senkrecht in Strömungsrichtung
  • Kontrollfläche um ein Profil
  • Volumenstrom
    • = t b w_x
  • Berechnung der Schaufelkraft mit Impulssatz
    • in x-Richtung
    • ρ w_1x (w_1x t b) + p₁ t b - ρ w_2x (w_2x t b) - p₂ t b = R_x
    • in y-Richtung
    • ρ w_1y (w_1x t b) - ρ w_2y (w_2x t b) = R_y
  • Kontinuitätsgleichung →
    • w_1x t b = w_2x t b ⇒ w_1x = w_2x
  • Energiebilanz →
    • p₁ + ρ/2 (w_1x² + w_1y²) = p₂ + ρ/2 (w_2x² + w_2y²) ⇒

      p1 - p2	= ρ/2 (w2y2 - w1y2)
      	= ρ/2 (w2y - w1y) (w2y + w1y)

  • mit dem Mittel aus Zu- und Abströmgeschwindigkeit = (₁ + ₂)/2 folgt
    • p₁ - p₂ = - ρ (w_1y - w_2y) _y
  • also

    Rx	= t b (p1 - p2)
    	= - ρ b y t (w1y - w2y)
    	= - ρ b y Γ

    • mit der Abkürzung Γ := t (w_1y - w_2y)
  • ebenso

    Ry	= ρ x t b (w1y - w2y)
    	= ρ b x Γ

  • Damit erhält man für das Skalarprodukt

    ·	= Rx x + Ry y
    	= - ρ b Γ x y + ρ b Γ x y
    	= 0

  • Die Schaufelkraft (Schaufelauftrieb) steht senkrecht auf der mittleren Strömungsgeschwindigkeit.
  • Betrag der Schaufelkraft
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