Laminare Strömung in kreisförmigen Rohren
- Geschwindigkeitsprofil im Rohr:
- Geschwindigkeit an der Rohrwand = 0 (Haftbedingung)
- laminare Strömung →
- achsenparallele Schichten
- w hängt nur vom Radius r ab
- Schubspannung aufgrund unterschiedlicher Geschwindigkeit
- entsprechende Reibungskraft am Zylinder
FR |
= A τ |
|
= 2 π r l (- η dw/dr) |
- äußere Druckkraft auf Zylinder
- Kräftegleichgewicht ⇒
- Integrieren ⇒
- Integrationskonstante aus Randbedingung w(r0)
= 0 ⇒
- maximale Geschwindigkeit bei r = 0:
- Bestimmung des Volumenstroms:
- Strom durch dünnen Zylinderring
d
|
= dA w(r) |
|
= w(r) 2 π r dr |
- Integrieren
- Mittlere Geschwindigkeit
:
- definiert durch
-
= A
- mit Hagen-Poiseuille
- Druckabfall:
- mit
- folgt aus Hagen-Poiseuille
- setzt man noch
-
=
π d2/4
- ergibt sich
- p1 - p2 = 32 ν ρ l
/d2
- Dimensionslose Form:
- dimensionslose Rohrreibungszahl
- p1 - p2 von oben einsetzen ⇒
- Vergleich mit der Definition der Widerstandszahl liefert
- Aufgaben: