Lokale Impulsbilanz

• Gesamtimpuls im Kontrollvolumen:
• ändert sich durch Ein- und Ausströmen der Fluidteilchen
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• in Komponenten
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• auftretende Kräfte
  • Volumenkraft F_K
  • Druckkraft F_p
  • Reibungskraft F_R
• Impulsänderung = Summe der angreifenden Kräfte
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• Impulsänderung:
  • x-Komponente
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  • Vernachlässigen von Termen höherer Ordnung
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    • wegen der Kontinuitätsgleichung
  • analog y-Komponente
    • 
• Volumenkraft F_K:
  • proportional zum Volumen
  • beim Kontrollvolumen
    • d_K = dx dy b
  • z.B. für Schwerkraft (unten = -y-Richtung)
    • k_x = 0
    • k_y = - ρ g
• Druckkraft F_p:
  • bei kleiner Fläche d
    • d_p = p d
  • x-Komponente beim Kontrollvolumen
    • 
  • analog y-Komponente
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• Reibungskraft F_R:
  • betrachten reine Schichtströmung u = u(y), v = 0
  • damit x-Komponente von F_R
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  • für Newtonsches Fluid somit
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  • bei beliebiger Strömung zusätzlich Normalspannungen
  • dafür erhält man (mit einiger Mühe)
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• Navier-Stokes-Gleichungen:
  • ergeben sich sofort beim Zusammensetzen aller Teile
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  • zusammen mit Kontinuitätsgleichung 3 Gleichungen für u, v, p
  • wesentlich: Randbedingungen (z.B. Haftbedingung an Wänden)
  • nichtlinear → analytisch (meistens) nicht lösbar
  • numerische Lösung z.T. sehr aufwändig