Diskretisierung
- Grundprinzip zur Lösung der Bewegungsgleichungen:
- kontinuierlicher Raum (x,y) →
Gitter (xi, yi) (endlich viele Punkte)
- Differentialgleichung L(u) = 0 →
algebraische Gleichung A(ui) = 0
- Lösung liefert Näherungswerte an Gitterpunkten
- Zwischenwerte durch Interpolation (FDM, FVM) oder Ansatzfunktionen
(FEM)
- Finite-Differenzen-Methode (FDM):
- Raum zerlegt in gleichmäßiges Gitter, kleine Gitterweite
h
- Ableitungen ersetzt durch Differenzen aus Taylor-Entwicklung,
z.B.
- algebraische Gleichungen numerisch lösen
- Vorteile von FDM
- relativ einfache Programmierung
- mathematisch gut zu analysieren
- Nachteile von FDM
- schwierig an komplizierte Geometrie anzupassen
- gleiche Genauigkeit im ganzen Raum
- Finite-Elemente-Methode (FEM):
- Raum zerlegt in kleine Teilvolumina Vi (Elemente)
- einfache Basisfunktionen Ni(x,y) in den Elementen
(meist linear)
- Ansatz: Lösung ist Linearkombination der Basisfunktionen
- Einsetzen von u in Differentialgleichung →
Fehlerterm R
- Koeffizienten ci finden, so dass R "im Mittel
möglichst klein"
- gewichtete Mittelwerte des Fehlers sollen verschwinden
- Gewichtsfunktionen = Basisfunktionen Ni
![](../images/formel141.gif)
- bei gegebener Differentialgleichung und Basisfunktion
- R als Funktion der Koeffizienten ci bekannt
- Integrale über die (einfachen) Ni bekannt
- →
(riesiges) lineares Gleichungssystem für ci
- dafür viele gute numerische Verfahren
- Vorteile von FEM
- verschiedene Formen für Grundelemente möglich
- sehr gut anpassbar an beliebige Geometrie
- Verfeinerung an kritischen Stellen problemlos
- Nachteile von FEM
- Erhaltungssätze nicht respektiert
- Finite-Volumen-Methode (FVM):
- Raum zerlegt in Zellen (meist viereckig in 2d, sechsseitig
in 3d)
- Werte definiert in den Mittelpunkten der Zellen
- Ableitungen und Werte an Zellenoberflächen mit Interpolation
und Taylor (ähnlich FDM)
- Bilanzgleichungen für Masse und Impuls für jede Zelle →
algebraische Gleichungen für die Werte an Zellen-Mittelpunkten
- Zeitabhängigkeit: Integration über die Zeit mit Standard-Verfahren
(z.B. Runge-Kutta)
- Vorteile von FVM
- Erhaltungssätze erfüllt selbst bei geringer Rechengenauigkeit
- gut anpassbar an beliebige Geometrie
- Verfeinerung an kritischen Stellen möglich
- Nachteile von FVM
- nicht ganz so flexible Zellen wie bei FEM
- mathematisch noch nicht so weit analysiert wie FDM
und FEM