Lösung von Aufgabe 14
- Berechnung der Ortskurve:
- Der Cosinussatz für das Dreieck OPQ liefert
- Nach x auflösen →
- Negatives Vorzeichen entfällt wegen l2
> l1, x > 0. Einführen von λ ergibt
- Gleichmäßige Umdrehung heisst
- also
- Die Parameter l2 und ω spielen für
die Form von Ortskurve und Spektrum keine entscheidende Rolle:
- l2 skaliert (bei festem Schubstangenverhältnis
λ) lediglich x(t), ist also für alle Fourierkoeffizienten
ein gemeinsamer Faktor;
- ω tritt nur als Faktor von t auf, gibt also die
Grundfrequenz vor und streckt das Spektrum, ohne seine Form zu beeinflussen.
- Im Weiteren werden sie fest gewählt zu
- l2 = 1
- ω = 2 π (also T = 1)
- Plot
- Bestimmung des Spektrums:
- Zunächst werde mit großen Werten für T
und N gerechnet, um eine möglichst genaue Darstellung zu erhalten:
- Die zugehörige Nyquistfrequenz ist fN
= 20.475
- Um den interessanten Teil des Plots hervorzuheben, wird
nur bis zur Frequenz f = 10 geplottet und die Skalierung von F so gewählt,
dass der höchste Peak nach dem (alles überragenden) Mittelwert
F(0) gut zu sehen ist. Man erhält
- Verkleinert man N auf 1024, ist die Nyquist-Frequenz
nur noch fN = 5.115, die Oberwelle bei f = 6 ist jetzt als
Peak bei 2 fN - f = 4.230 zu sehen (Aliasing).
- Verkleinert man T, verringert man damit die Frequenzauflösung,
so dass sich die Peaks verbreitern. Ein großes N nützt hier
nichts, sondern bewirkt aufgrund des großen fN-Werts
nur, dass auch (hier nicht vorkommende) sehr hohe Frequenzanteile noch
aufgelöst werden.
- Der kleinstmögliche Wert für T ist natürlich
T = 1, eine Schwingung.
- Reproduktion aller Ergebnisse mit dem
Matlab-Skript ex14.m