Lösung von Aufgabe 9
- Interpolationspolynom:
- Für N = 5 liefert die allgemeine Formel
- die konkrete Version
- Einsetzen der Werte ergibt dann (nach endlichem Rechnen)
- Wem die Rechnung zu lang ist (oder wer keinen symbolischen
Rechner hat), der kann stattdessen auch das Gleichungssystem mit der Vandermonde-Matrix
lösen:
- liefert das gleiche Ergebnis (numerisch natürlich).
- Spline-Interpolationsfunktionen:
- Gesucht sind die Polynome P1, P2,
P3, P4 auf den entsprechenden vier Intervallen.
- Als erstes werden die Intervallbreiten hi
bestimmt, sie sind hier
- Die Formel für die Steigungen
- vereinfacht sich dann zu
- also konkret
- Für natürliche Splines kommen noch die Gleichungen
- dazu, konkret also
- Diese 5 Gleichungen lassen sich mit Matlab schnell lösen,
man erhält als Steigungen
- Mi = [1.5536, -0.1071, -1.1250, 1.6071,
3.6964]
- Dies in die Formel
- eingesetzt liefert
- Analog hat man für not-a-knot-Splines die zusätzlichen
Gleichungen
- konkret
- Damit erhält man die Steigungen
- Mi = [3.0833 -0.5417 -0.9167 1.2083 5.0833]
- und die Polynome
- graphische Darstellung der Interpolationsfunktionen
- der natürliche Spline läuft an den Rändern
geradlinig aus
- Polynom (4. Ordnung) und not-a-knot-Spline (2x 3. Ordnung)
sind kaum zu unterscheiden
- Reproduktion aller Ergebnisse mit dem
Matlab-Skript ex09.m