Bedingte Wahrscheinlichkeit

• Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:
  • Seien A, B zwei Ereignisse mit P(A) > 0, dann
    • 
  • Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, falls A eingetreten ist
  • anschaulich:
    • A eingetreten ⇒ nur Elementarereignisse aus A sind möglich
    • in B können nur die Elementarereignisse aus A eintreten
  • erlaubt Berücksichtigung zusätzlicher Information
• Beispiel Fertigung mit zwei Fehlertypen:
  • bei einer Fertigung treten zwei Fehlerarten A und B auf
  • langfristige Beobachtungen liefern

    • P(nur A)	2%
      P(nur B)	2.5%
      P(A und B)	0.5%

  • Wahrscheinlichkeit für Fehler B
    • P(B) = P(B\A) + P(B ∩ A) = 2.5% + 0.5% = 3%
  • Wahrscheinlichkeit für Fehler B, wenn Fehler A aufgetreten ist
    • 
• Multiplikationsregel:
  • Umformen liefert (für P(A₁) ≠ 0)
    • P(A₁ ∩ A₂) = P(A₁) P(A₂ | A₁)
  • zweimal (für P(A₁ ∩ A₂) ≠ 0)
    • P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = P(A₁) P(A₂ | A₁) P(A₃ | A₁ ∩ A₂)
  • Iteration (für P(A₁ ∩ ... ∩ A_n-1 ≠ 0)
    • P(A₁ ∩ ... ∩ A_n) = P(A₁) P(A₂ | A₁) ... P(A_n | A₁ ∩ ... ∩ A_n-1)
• Beispiel Urne ohne Zurücklegen:
  • Urne enthalte 40 rote und 60 schwarze Kugeln
  • 3 Kugeln werden nacheinander (ohne Zurücklegen) gezogen
  • Ereignis A_i = i. Kugel ist rot
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass drei rote Kugeln gezogen werden?
    • 
  • also
    • P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = 40/100 · 39/99 · 38/98 = 6.110 %
• Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit:
  • Ereignisse A₁, ..., A_n bilden eine disjunkte Zerlegung von Ω, d.h.
    • A_i paarweise disjunkt, A₁ ∪ ... ∪ A_n = Ω
  • dann
    • 
  • Beweis
    • 
• Beispiel Fußball-Ergebnis:
  • Mannschaft BD spielt im Halbfinale gegen eine der drei Mannschaften HV, WB und BM, Gegner wird ausgelost.
  • Trainer schätzt Siegchancen folgendermaßen ein
    • 80% gegen HV, 70% gegen WB, 30% gegen BM
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Finale zu erreichen?
  • Ereignisse

    • B	BD gewinnt Halbfinale
      A1,A2,A3	Gegner ist HV, WB, BM

  • Wahrscheinlichkeiten
    • P(A₁) = 1/3 = P(A₂) = P(A₃)
    • P(B|A₁) = 0.8, P(B|A₂) = 0.7, P(B|A₃) = 0.3
  • damit
    • 
• Satz von Bayes:
  • Ereignisse A₁, ..., A_n bilden eine disjunkte Zerlegung von Ω, dann gilt
    • 
  • erlaubt "rückwärts Schließen", d. h. Berechnen von P(A_i|B) aus P(B|A_i)
• Beispiel Krebstest:
  • Ein Krebstest erkenne das Vorhandensein von Prostatakrebs mit 95% Wahrscheinlichkeit. Umgekehrt liefere er ein (falsches) positives Ergebnis bei 1% der getesten gesunden Männer. Bei 0.3% aller Männer trete der Krebs auf.
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Prostatakrebs zu haben, wenn der Test positiv ist?
  • Ereignisse:
    • B = Test ist positiv, A₁ = Person ist erkrankt, A₂ = Person ist gesund
    • A₁, A₂ bilden disjunkte Zerlegung von Ω
  • Wahrscheinlichkeiten
    • P(A₁) = 0.3%, P(A₂) = 99.7%
    • P(B|A₁) = 95%, P(B|A₂) = 1%
  • Satz von Bayes liefert
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• Unabhängigkeit:
  • A, B unabhängig :⇔ P(A ∩ B) = P(A) P(B)
  • direkte Folgerung (für P(B) ≠ 0)
    • A, B unabhängig ⇔ P(A) = P(A|B)
  • anschaulich: Eintreten von B ändert die Wahrscheinlichkeit für A nicht
  • vgl. Beispiel Fertigung mit zwei Fehlertypen
    • P(B) = 3% ≠ P(B|A) = 20%
    • ⇒ Fehler A und B sind nicht unabhängig
• Beispiel Würfelwurf:
  • zweimaliger Würfelwurf, betrachen
    • A = 1. Wurf ergibt 6
    • B = 2. Wurf ergibt 6
  • P(A) = 1/6 = P(B), P(A ∩ B) = 1/36 = P(A) P(B)
  • also: A und B unabhängig
• Aufgaben:
  • Aufgabe 3
  • Aufgabe 4
  • Aufgabe 5