Dichte- und Verteilungsfunktion

• Stetige Zufallsvariable:
  • Dichtefunktion: integrierbare Funktion f: ℝ → ℝ mit
    • 
  • stetige Zufallsvariable X: Ω → ℝ mit
    • 
  • f heißt auch Wahrscheinlichkeitsdichte von X
  • für kleines ε > 0
    • 
  • anschaulich
    • ε f(a) ist die Wahrscheinlichkeit, dass X im kleinen Intervall der Breite ε um a herum liegt
  • insbesondere folgt mit ε → 0 für jedes x ∈ ℝ
    • P(X = x) = 0
• (Kumulative) Verteilungsfunktion von X:
  • wie oben definiert
    • 
  • falls F differenzierbar, gilt
    • F'(x) = f(x)
  • mit F hat man sofort
    • P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)
• Beispiel Gleichverteilung:
  • X sei stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion
    • 
  • Verteilungsfunktion damit
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  • im Bild
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  • damit etwa
    • P(X ≤ 2) = F(2) = 1/2
    • P(1.8 ≤ X ≤ 2.2) = F(2.2) - F(1.8) = 0.6 - 0.4 = 0.2
    • P(X ≥ 2.5) = 1 - F(2.5) = 1 - 0.75 = 0.25
• Aufgaben:
  • Aufgabe 10