Spezielle stetige Verteilungen

Gleichverteilung U(a,b) auf Intervall [a,b]:
- Dichtefunktion
- Kennwerte
- Anwendung
  - Rundungsfehler
  - Wartezeiten (bei periodischer Abholung)
Exponentielle Verteilung Ex(λ):
- Parameter λ > 0
- Dichtefunktion
- Verteilungsfunktion
- Kennwerte
- Anwendung
  - Lebensdauer eines Geräts (ohne Alterung)
  - Wartezeit bis zum nächsten Schadensfall
  - Zeit bis zum nächsten radioaktiven Zerfall
- im Bild
Besonderheiten der exponentiellen Verteilung:
- Gedächtnislosigkeit: Für X ~ Ex(λ) gilt
- Bedeutung:
  - Hat man schon x Zeiteinheiten gewartet, ohne dass das Ereignis eingetreten ist, verringert das die weitere Wartezeit nicht.
- Zusammenhang mit Poisson-Verteilung:
  - X = Zeitdauer zwischen aufeinander folgenden unabhängigen Ereignissen
  - Y = Anzahl von Ereignissen in einem Zeitintervall
  - X ~ Ex(λ) ⇔ Y ~ Po(λ)
Beispiel Produkt-Lebensdauer:
- Die Lebensdauer eines Produkts sei exponentiell verteilt mit mittlerer Lebensdauer von 6 Jahren.
- Wegen E(X) = 1/λ ist hier λ = 1/(6 Jahre)
- Wahrscheinlichkeit, dass es länger als 6 Jahre hält
  - P(X ≥ 6) = 1 - F(6) = 1/e = 36.79 %
- Wie groß muss die Garantiezeit gewählt werden, wenn man höchstens p = 10% Ausfälle während der Garantiezeit haben möchte?
Gammaverteilung γ(r, λ):
- Parameter λ > 0, r > 0
- Dichtefunktion
  - mit Gammafunktion
  - speziell für r ∈ ℕ
- Kennwerte
- Anwendung
  - Bedienzeiten oder Reparaturzeiten
  - Zeit zwischen (kleinen) Versicherungsschäden
- im Bild
Spezialfälle der Gammaverteilung:
- Erlang-Verteilung
  - Erl(n, λ) = γ(n, λ) für n ∈ ℕ
  - Wartezeit auf Kette von n Ereignissen
  - Erl(1,λ) = Ex(λ)
- Chi-Quadrat-Verteilung mit f Freiheitsgraden (f ∈ ℕ)
  - wichtig bei statistischen Tests
Normalverteilung N(μ, σ²):
- Dichtefunktion
- Kennwerte
  - E(X) = μ
  - Var(X) = σ²
- Anwendung
  - wichtigste Verteilung überhaupt
  - Messfehler
  - Produktionsungenauigkeiten
  - Größenverteilung bei Menschen
  - und viele weitere
- in vielen Fällen gute Näherung (s.u.)
- im Bild
Berechnung der Verteilungsfunktion:
- Problem: Stammfunktion der Dichte lässt sich nicht auf einfache Funktionen zurückführen
- Trick: Standardisierung
  - statt X ~ N(μ, σ²) betrachte Z = (X - μ)/σ ~ N(0,1)
- Verteilungsfunktion für Standard-Normalverteilung
- Werte von Φ sind tabelliert, es reichen die für x ≥ 0 wegen
  - Φ(-x) = 1 - Φ(x)
- wird oft auf die Fehlerfunktion erf(x) zurückgeführt
  - damit
- in Matlab vorhandene Funktionen
  - erf(x)
  - erfc(x) % = 1 - erf(x), sinnvoll für größere x
  - erfinv(x) % Inverse von erf
  - erfcinv(x) % Inverse von erfc
- in Matlab + Statistik-Toolbox vorhandene Funktionen
  - normcdf(x) % Phi(x)
  - normcdf(x, mu, sigma) % F(x) bei X ~ N(mu, sigma)
  - norminv(p, mu, sigma) % Inverse von normcdf
  - und natürlich mit makedist und zugehörigen Funktionen
Beispiel Größenverteilung:
- Die Körpergröße der erwachsenen Männer in einer Population sei normalverteilt mit einem Mittelwert von 180 cm und einer Standardabweichung von 9 cm.
- Wie groß ist der Anteil der Männer, die größer sind als 200 cm?
- Gesucht ist A = 1 - P(X ≤ 200) für X ~ N(180, 9²).
- Standardisierung
- Berechnung mit Matlab
  - x = 20/9;
  - A = 1 - 0.5*(erf(x/sqrt(2)) + 1)
  - alternativ
  - A = 1 - normcdf(200, 180, 9)
- Ergebnis: 1.31% der Männer sind über 200 cm groß.