Laminare Gerinneströmung

• Strömung im Kanal:
• Neigungswinkel α
• konstante Wassertiefe h
• Breite b >> h → Seitenwände vernachlässigbar
• Koordinaten
  • x längs des Gefälles
  • y senkrecht zum Gefälle
    
• Schwerkraft
  • k_x = ρ g sin α
  • k_y = -ρ g cos α
• Höhenprofil der Geschwindigkeit:
  • keine Variation in der Breite
  • unabhängig von x (ausgebildete Strömung)
    • → Ableitungen nach x verschwinden
    • → partielle Ableitung nach y = gewöhnliche Ableitung
  • Kontinuitätsgleichung →
    • dv/dy = 0
    • → v = const.
    • v = 0 am Boden
    • → v = 0 überall
  • wegen v = 0 wird NS2
    • dp/dy = - ρ g cos α
  • Lösung (wie beim hydrostatischen Druck)
    • p = p₀ + ρ g (h - y) cos α
  • aus NS1 wird
    • 
  • Integration →
    • du/dy = -B y + C₁
  • Randbedingung:
    • keine Reibung an der Oberfläche (Luftreibung und Oberflächenwellen vernachlässigt)
    • → τ(y=h) = 0
    • → du/dy(y=h) = 0
    • → du/dy = B (h - y)
  • nochmals integrieren und Haftbedingung u(0) = 0 →
    • u = B y (h - y/2)
  • Geschwindigkeit an der Oberfläche maximal
    • u_max = u(h) = h² B/2
• Reibungszahl λ:
  • aus Gleichgewicht zwischen Druckabfall und Reibungsverlust an der Wand folgte
    • 
  • Schubspannung am Boden
    • 
  • mittlere Geschwindigkeit
    • 
  • damit
    • 
• λ als Funktion von Re:
  • Reynoldszahl bei offener Strömung war
    • 
  • dazu hydraulischer Durchmesser
    • 
  • damit
    • 
  • somit
    • 
  • ähnlich zum Hagen-Poiseuille-Gesetz der Rohrströmung
• Aufgaben:
  • Aufgabe 3