Lösung von Aufgabe 16

1. Bewegungsgleichungen:
   • Kräfte- und Momentenbilanz um den Schwerpunkt S bzw. für die Radkästen
     • 
   • für kleine Auslenkungen ist der Zusammenhang zwischen x_1,2 und x, φ
     • 
   • Eliminieren von x_1,2 und Umsortieren liefert die bekannte Matrixform
     • 
   • mit den Matrizen
     • 
2. Eigenwerte und Modalmatrix für B = 0:
   • Numerische Lösung des Eigenwert-Problems liefert
     • 
3. Modaltransformationen:
   • Transformation der Matrizen und Vektoren mit Φ ergibt
     • 
   • Beobachtung: Auch die Matrix B wird durch Φ diagonalisiert.
   • Ursache: Es liegt proportionale Dämpfung vor mit
     • B = γ C
   • Modaltransformation entkoppelt daher die Bewegungsgleichungen vollständig in
     • 
4. Lösung der Bewegungsgleichungen:
   • Lösung in Hauptkoordinaten wie im 1d-Fall: komplexer Ansatz
     • 
   • ergibt
     • 
   • Einsetzen der Werte →
     • 
   • in Polardarstellung ist dies
     • 
   • Lösung in Hauptkoordinaten somit
     • 
   • Rücktransformation von y erfordert Zusammenfassen der Cosinus-Funktionen. Dies geht wesentlich einfacher im Komplexen, indem man erst die z-Amplituden zurücktransformiert und dann den Realteil nimmt:
     • 
   • im Bild
     
   • Amplituden der Hubschwingung
     • = 4.87 cm,
   • der Nickschwingung
     • = 0.0114 0.65°
   • Interessanterweise schwingt der rechte Radkasten wesentlich stärker als der linke.