Lösung von Aufgabe 18

1. Randbedingungen:
   • Skizze
     
   • Randbedingung bei 0
     • q(0, t) = 0
   • Kraft auf den Propeller bei L aufgrund der Longitudinalschwingung der Welle
     • 
   • Trägheitskraft der Masse
     • 
   • Insgesamt gilt also als weitere Randbedingung
     • 
2. Beziehung für die Eigenfrequenzen:
   • Produktansatz war
     • 
   • Einsetzen in die Randbedingung bei 0 ergibt
     • 
   • Aus der Randbedingung bei L ergibt sich durch die entsprechenden Ableitungen
     • 
   • Mit
     • 
   • und
     • 
   • erhält man
     • 
3. Näherungslösungen der ersten drei Eigenfrequenzen:
   • Sei die dimensionslose Größe κ gegeben durch
     • 
   • Dann wird aus der Beziehung für ω
     • 
   • Für eine graphische Näherungslösungen schreibt man dies am einfachsten als
     • 
   • und bestimmt die Schnittpunkte der beiden Graphen
     
   • Durch numerische Verfahren (z.B. Newton-Iteration) erhält man für die ersten drei Schnittpunkte
     • κ₁ = 1.137
     • κ₂ = 3.724
     • κ₃ = 6.637
   • Wegen
     • 
   • erhält man daraus die Kreisfrequenzen der ersten drei Eigenschwingungen
     • ω₁ = 294.9 1/s
     • ω₂ = 966.0 1/s
     • ω₃ = 1721.9 1/s