Lösung von Aufgabe 19

1. Eigenfrequenzen:
   • Fläche und polares Trägheitsmoment der quadratischen Querschnittsfläche
     • 
   • damit ergibt sich
     • c = 44.94 m²/s
   • Randbedingungen beim gestützen Balken
     • Q(0) = 0, Q''(0) = 0, Q(L) = 0, Q''(L) = 0
   • Ableiten der allgemeinen Lösung für Q(x) liefert
     • 
   • Einsetzen der Randbedingungen bei 0 ergibt
     • 
   • Randbedingungen bei L liefern
     • 
   • Addition beider Gleichungen →
     • 
   • da sinh(x) ≠ 0 für x ≠ 0
   • Damit ergeben sich nichttriviale Lösungen nur für
     • 
   • Eigenfrequenzen sind also
     • 
   • mit den angegebenen Werten daher
     • ω₁ = 49.28 1/s
     • ω₂ = 197.1 1/s
     • ω₃ = 443.5 1/s
2. Eigenschwingungen:
   • Einsetzen der Koeffizienten in Q(x) liefert die Lösungen
     • 
   • graphisch