Lösung von Aufgabe 21
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Die Randbedingungen bei 0 bei fester Einspannung sind
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Kräftegleichgewicht der Masse m am Ende des Balkens
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Weiterhin gilt die Momentenfreiheit am freien Ende
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Geht man mit dem Produktansatz
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in die dynamische Randbedingung bei L ein, folgt
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Setzt man alle vier Randbedingungen in die allgemeine Form von Q(x)
ein, ergeben sich - wieder mit κ = μ L - die folgenden
Gleichungen
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Der Vorfaktor vor der eckigen Klammer kann mit den Beziehungen
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umgeschrieben werden zu
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wobei mit den gegebenen Werten
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Damit lautet die 4. Gleichung
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Nun werden die ersten zwei Gleichungen benutzt, um die Variablen ch und sh zu elimieren. Es bleiben die
folgenden zwei Gleichungen übrig:
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Damit nicht-triviale Lösungen existieren, muss die Systemdeterminante
verschwinden. Nach etwas Rechnerei ergibt sich daraus
- Die Lösungen dieser transzendenten Gleichung lassen
sich für gegebenes γ wieder graphisch oder numerisch
bestimmen.
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graphisch als Schnittpunkte von
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ergibt stark angefachte Schwingungen
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numerisch mit Startwerten aus der Graphik
- κ1 = 1.423
- κ2 = 4.113
- κ3 = 7.192
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daraus ergeben sich die Eigenfrequenzen zu
- ω1 = 436.1 1/s
- ω2 = 3642 1/s
- ω3 = 11140 1/s