Lösung von Aufgabe 4

1. Bewegungsgleichungen:
   • Die Kräfte sind
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   • Daher lauten die Bewegungsgleichungen
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   • Daraus liest man sofort die Matrizen ab
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2. Bestimmung der Eigenfrequenzen:
   • Die charakteristische Gleichung liefert (unter Weglassen der Einheiten)
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3. Eigenschwingungen:
   • Zur Bestimmung des 1. Eigenvektors setzen wir ω₁ in die skalierte Gleichung ein
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   • Die Wahl _1,1 = 1 liefert _1,2 = 2, also ist der 1. Eigenvektor
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   • Die Form der 1. Eigenschwingung ist somit
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   • analog erhält man auch den Eigenvektor zu ω₂
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   • Die Wahl _2,1 = 1 liefert _2,2 = -4, somit ist der 2. Eigenvektor
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   • und die 2. Eigenschwingung
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4. Bewegung bei gegebenen Anfangsbedingungen
   • Die Modalmatrix ist
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   • damit erhält man die modale Massenmatrix
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   • und ihre Inverse
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   • Als nächstes bestimmt man die inverse Modalmatrix
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   • Die Anfangsbedingungen waren gegeben als
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   • in Hauptkoordinaten bedeutet das
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   • Die Lösung in Hauptkoordinaten ergibt sich aus diesen Anfangsbedingungen sofort zu
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   • Rücktransformation liefert schließlich die Lösung in Ausgangskoordinaten
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   • Plot
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5. Anregen der 2. Eigenschwingung:
   • Die Anfangsbedingungen müssen selbst die Form der 2. Eigenschwingung haben, damit nur diese angeregt wird, d.h. mit beliebiger Amplitude A
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   • Dann ergibt sich nämlich als Anfangsbedingung in Hauptkoordinaten
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   • also wird wirklich nur die 2. Eigenschwingung angeregt.
   • Natürlich kann man das Ergebnis auch direkt durch Rückwärtsrechnen herleiten: In Hauptkoordinaten sollen die Anfangsbedingungen die Form haben
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   • Dann lauten sie in Ausgangskoordinaten
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   • entsprechen also dem 2. Eigenvektor, wie eingangs behauptet.